Функция Лапласа. Функция распределения случайной величины х, имеющей нормальное распределение

В дальнейшем будем использовать функцию Лапласа, определяемую равенством

.

Составлены подробные таблицы значений этой функции.

Укажем некоторые свойства функции Ф(х).

1. Ф(х) определена при всех значениях х.

2. Ф(0)=0.

3. .

4. .

5. Ф(х) монотонно возрастает при всех .

6. Ф(х) – функция нечетная: Ф(-х)= - Ф(х).

Определим функцию распределения случайной величины Х, имеющей нормальное распределение.

.

Обозначив получим

.

Итак, функция распределения случайной величины Х имеет вид

.

Вероятность попадания случайной величины х, имеющей нормальное распределение, в заданном интервале

Используя функцию распределения случайной величины Х, найдем вероятность попадания ее значений в интервал (α, β).

.

Таким образом, .

Пример. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид . Найти: γ, M[X], D[X], F(x), .

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Поэтому приведем плотность распределения f(x) к виду

.

Выделим в показателе заданной функции полный квадрат

.

Следовательно,

.

Сравним

.

Из последнего равенства получаем

.

, т.е. .

, .

.

.

В последнем равенстве при вычислении и использованы таблицы значений функции Ф(х).

Итак: , , , , .

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗОВ. М., 1962.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

3. Румшиский Л.З. Элементы теории вероятностей. М., 1966.

4. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., 1982.

5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., 1982.

6. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1975.