Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2

Дисциплина: Вычислительная механика

Тема: «Нестационарная одномерная задача теплопроводности

для бесконечного слоя»

Задача №1, вариант 3

Выполнил студент ФМФ МПУ 4055/1

Шевчук Р.Э.

Преподаватель:

Немов А.С.

Санкт-Петербург

2011

1. Постановка задачи

В настоящей работе требуется получить аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности для бесконечного слоя (пластины) в виде бесконечного ряда. Задавшись необходимой точностью и временем, за которое поле температур приближается к некоторому стационарному уровню, вычислить значение температуры для точек с указанными координатами х_p с определенным временным шагом.

Для нахождения времени установления стационарного решения рассмотреть наиболее медленно убывающую экспоненту в аналитическом решении в виде ряда и определить время, за которое величина этой экспоненты будет несущественна.

Получить графики изменения температуры во времени для тех же точек с помощью программной системы конечно-элементного анализа ANSYS. При составлении исходных данных для вычислительного эксперимента учитывать, где возможно, симметрию. Сравнить результаты вычислительного эксперимента с аналитическими расчетами.

Материал – сталь (коэффициент теплопроводности k = 43 , плотность  = 7800 , удельная теплоемкость c_v = 473 ).

Рассматривается пластина толщиной 2a, a = 0.025 м, на гранях которой x = -a, x = a поддерживается нулевая температура. Начальное распределение температуры имеет следующий вид: = f(x). Т₀ = 100⁰С.

2. Аналитическое решение

Ответ, полученный аналитически при решении поставленной задачи (№53 учебного пособия¹):

Рассмотрим экспоненту ряда: . Она будет принимать максимальное значение при n = 0. Для нахождения времени установления решения, положим величину экспоненты некой несущественной величиной, например 0.001. Тогда м². Откуда несложно найти время установления: . Для простоты дальнейших расчетов, примем величину t_s равной 150 с.

При заданных значениях параметров, температура на линиях x_p = 0 и x_p = a/2 в зависимости от времени равна соответственно:

t, с	T, °C (xp = 0)	T, °C (xp = a/2)
0	100.0000	75.0000
10.0000	65.0829	46.1065
20.0000	41.1182	29.0763
30.0000	25.9547	18.3527
40.0000	16.3828	11.5844
50.0000	10.3409	7.3121
60.0000	6.5273	4.6155
70.0000	4.1201	2.9133
80.0000	2.6006	1.8389
90.0000	1.6415	1.1607
100.0000	1.0361	0.7327
110.0000	0.6540	0.4625
120.0000	0.4128	0.2919
130.0000	0.2606	0.1843
140.0000	0.1645	0.1163
150.0000	0.1038	0.0734

Результаты получены при помощи MatLab в интервале изменения t: [0; t_s] = [0; 150] с шагом 10 с. для первых двухсот членов теоретического ряда. Полученные графики соответственно: