25. Однородные системы линейных алгераических уравнений: понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совмстности.

хr11 xr12 … xn – свободные неизвестные

УСЛОВИЯ НЕТРИВИАЛЬНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ.

УТВ: {rА<n}{система нетривиально совместима}

i = 1,2,..,r

26. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: понятие о линейной зависимости решений, существование фуедоментальной системы решений.

Х-- решение системы (*) АХ = Ө

ОПР: {система решений СЛАУ х1,х2..хk линейно зависима}{не все равные 0 и такие, что Ө}

ОПР:{система решений однородной СЛАУ является ФСР}

УТВ: для любой однородной СЛАУ у которой rA<n .

Док-во: систему приведем к виду, когда БМ в верхнем правом углуможно сделать урезание.

№	Х1	Х2	…	Хr	Xr+1	Xr+2	…	Xn
1	X11	X21	…	Xr1	1	0	…	0
2	X12	X22	…	Xr2	0	1	…	0
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n-r	X1n-r	X2n-r	…	Xrn-r	0	0	…	1

Ранг этой матрицы = n-r системы строк является линейно зависимой, а значит и система решений линейно зависимасистема решений является ФСР.

Линейная независимость строк ведет к линейной независимости системы.

Билет №29

Опред.: НСЛАУ – система вида:

a₁₁x₁ + … + a_1nx_n = b₁

…………………… <=> A _mn*x=b

a_m1x₁ + …+ a_mnx_n = b_n

Теорема (об общ. решении неоднор. СЛАУ):

Пусть система совместна (имеет решения и r=r_A=r_A*)

1. Если r=n, то существует единственное решение

2. Если r<n, то общее решение системы имеет вид:

X_он = Х_оо + Х_чн