19 Вопр. Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна (т.е. Имеет решения) <=> ранг расширенной матрицы А(с чертой) = рангу матрицы А.

Док-во. (=>) Система совместна => Существуют d₁, d₂, ...d_n –решения. Подставляя их вместо неизвестных мы получим S тождеств, которые показывает, что последний столбец А(с чертой) является Σ всех остальных столбцов, взятых с коэффициентом α₁α_n. Всякий другой столбец А(с чертой) входит в А₁ => линейно выражается через столбцы А. Всякий столбец А является столбцом и А (с чертой), => линейно выражается через столбцы А (с чертой), => системы столбцов А и А (с чертой) эквивалентны, => обе системы имеют одинаковый ранг.

(<=) r_{A (с волной)} = r_A, => Для всех максимально линейно независимых подсистем А остается и в А(с чертой), => последний столбец А(с чертой) линейно выражается через систему А, => существуют α₁...α_n такие, что сумма столбцов А, взятых с теми коэффициентами, = столбцу их свободных членов, а потому α₁...α_n являются решениями системы, => система совместна.

Билет №23

Ранг произведения 2 матриц.

Утв: при умножении матрицы на *** матрицу, ранг матрицы не изменится.

Д: АВ, |В|<>0 (n*n),  R_a<=n.<

C=AB₁, Г_c<=min(R_a,R_B)=min(R_a,n)=Ra  R_A<=R_C

A=CB^-1 =A(BB^-1)=AE=A₁

Теорема: А=||a_ij|| B=||b_ij||

C=AB_,  R_C<=min(R_A,R_B).

Умножение на невырожденную матрицу(квадратная матрица, отличная от 0)

24. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: св-ва решений, эквивалентное урезание системы.

система (*). У этой системы всегда есть тривиальное решение.

х1=0, х2=0,..,хn=0

Если кроме тривиального решения существуют нетривиальные (не все х=0), то система называется нетривиально совместной.

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СЛАУ,

1) АХ = Ө

Если Х1 и Х2 – 2 решения СЛАУ, то (Х1+Х2) так же решение СЛАУ.

Док-во:

Дано: АХ1= Ө; АХ2= Ө;

Имеем: А(Х1+Х2) = АХ1+АХ2 = Ө + Ө = Ө

(Х1+Х2) – удовлетворяет системе (*) ч.т.д.

2) Если АХ = Ө.

Если х – решение системы (*), то любое €R => (Х) так же решение.

Док-во:

Дано: АХ = Ө; Y=Х =

АY = АХ = Ө = Ө ч.т.д.

3) Если Х1, Х2,..,Хк – решение системы (*), то любые линейные комбинации этих решений, Y = 1Х1+2Х2+..+кХк, где 1…к – произвольные фиксированные числа € R, так же будут решением системы (*).

Док-во:

Дано: АХi = Ө, i = 1,2,3..к

Y = AY=A = = = Ө = Ө, то есть Y удовлетворяет системе (*).

ЭКВИВАЛЕНТНОЕ УРЕЗАНИЕ СИСТЕМЫ(*).

Рассмотрим урезанную систему (**), отбросив из системы (*) все уравнения, не вошедшие в БМ.

УТВ: урезанная система (**) эквивалентна исходной системе (*).

Док-во: пусть х1, х2,..,хn – решение системы (**), тогда покажем, что оно является решением и для системы (*). Возьмем уравнение, которое не входит в БМ системы (*). Это уравнение по ТОМБ является линейной комбинацией уравнений, входящих в БМ.

x1,x,.,xn - базисные неизвестные;

Хr+1, xr+2,..,xn – свободные неизвестные