16 Вопр. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Пусть минор матрицы А порядка r≠0, а все окаймляющие его миноры =0, тогда ранг матрицы =r.

Док-во. В силу того, что столбцы входящие в минор (БМ) линейно независимы, и того, что любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы, входящие в БМ: r_A ≤ r ≤ r_A => r = r_{A ■}

Метод окаймляющих миноров:

1. Ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы a_ij), отличный от нуля (если такого нет, то rank(A)=0);

2. Ищем минор второго порядка, содержащий a_ij и отличный от нуля:

(если такого нет, то A= );

3. продолжаем процесс окаймления до тех пор, пока не найдем такой минор r-го порядка, который сам отличен от нуля, а все окаймляющие его (r+1)-го порядка равны нулю. Тогда rank(A)=r.

17 Вопр. Элементарные преобразования матрицы, не изменяющие ранга матрицы.

Элементарные преобразования (строки = столбца):

1. Умножение любой строки на число ≠0

2. Перестановка любых двух строк

3. Прибавление к одной строке другой строки и умноженной на любое число

4. Приписывание (вычеркивание) нулевой строки

Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что в результате элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а ненулевой – ненулевым.

Т. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы

Д-во. 1) λ≠0 1/ λ

А→А (А с волной)→А

Умножаем на число ≠0 . Все миноры, которые были =0, остались =0, а которые были ≠0, так и остались ≠0. => ранг не изменился.

r _{А(с волной)} ≤ r = r_А ≤r _{А(с волной)} => r _А = r_{А(с волной)}

2) А →А (А с волной)→А

При перестановке любых двух строк (столбцов) все миноры (r+1) порядка остаются =0. => порядок не матрицы не изменится.

r _{А(с волной)} ≤ r_A = r

3) А→А (А с волной)→А

Кратко:

i B_i+λB_j (минор)=B_i+λ|B_j|

0, как минор порядка (r+1) матрицы А

Подробно:

((ai₁+λaj₁)(ai₂+λaj₂)...(ai_n+λaj_n))=A (A с волной)

aj₁ aj₂ aj_n

r =r_A

r+1

|(aij₁+λajj₁)( aij₂+λajj₂)...( aij_r+1+λajj_r+1)| = |aij₁ aij₂ ...aij_r+1|+|λajj₁ λajj₂ ... λajj_r+1|

r _{А(с волной)} ≤ r = r_А (1)

А (А с волной)→А => r_А ≤r _{А(с волной)} (2)

из (1) и (2) => r_А= r _{А(с волной)}

4) из-за появления нулевой строки (столбца) БМ и следовательно ранг матрицы не изменятся.

18 Вопр. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса

Кратко:

Мы должны примести матрицу А к трапециевидной матрице, зануляя столбцы.

A= (эквивалентна)

V – вместо знака волны

М₂=-(а₂₁/а₁₁) М₃=-(а₃₁/а₁₁) ... М_m=-(а_m1/а₁₁) и т.д. для остальных строк

 - переход к преобразованной матрице того же ранга

более подробно:

каждый раз, чтобы занулить, строка умножается на число М такое, чтобы при вычитании из последующих строк, столбец занулялся. т.е. В первом шаге первая строка умножается на М₂=-(а₂₁/а₁₁) и вычитается из второй строки. Также вычитается из третьей строки и следующих умноженных на свое М. В итоге первый столбец зануляется. Потом тоже самое проделывается до тех пор, пока не получится трапециевидная или треугольная матрица.