Вопрос 5. Свойства определителя : а) признаки равенства определителя нулю ; б) прибавление к одной строке другой.

А)Определитель равен нулю, если:

В матрице содержится нулевая строка;

В матрице содержится 2 одинаковые строки

Доказательство

При перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, поменяет знак на противоположный. Тогда ;

В матрице содержится две пропорциональные строки

Доказательство

Вынести λ за определитель, далее аналогично предыдущему.

Б) Прибавление к одной строке другой

Если к элементам некоторой строки(или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Доказательство

Полученный в результате указанного прибавления определитель можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадет с исходным , а второй равен нулю, в силу пропорциональности двух строк (или столбцов).

6.Миноры. Теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение.

Определение.

Минором матрицы k-ого порядка называется определитель матрицы, состоящей из элементов, расположенных на пересечении k строк и k столбцов () данного определителя d порядка n.

Пусть в определителе d n-ого порядка взят минор M k-ого порядка. Если вычеркнуть те строки и столбцы, на пересечении которых стоит этот минор, то останется минор M’ (n–k)-ого порядка, который называется дополнительным минором для минора М.

Если минор k-ого порядка расположен в строках с номерами и столбцах с номерами , то алгебраическим дополнением минора М является дополнительный минор М’, взятый со знаком .

Теорема.

Произведением любого минора k-ого порядка матрицы А на его алгебраическое дополнение состоит из слагаемых, представляющих собой члены определителя матрицы А с правильным знаком.

Доказательство.

7.Теорема Лапласа.

Теорема.

Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), . Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

8.Разложение определителя по строке или столбцу. Умножение элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки.

Определение.

Разложение определителя по j-ому столбцу .

Теорема.

Сумма произведений всех элементов некоторого столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца (строки) равна нулю, т. е. .

9.Правило Крамера.

Пусть дана система, определитель которой не равен нулю, вида

Правило Крамера.

Система (1) однозначно разрешима при любых правых частях тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен нулю. Это решение определяется формулой , где – определитель матрицы системы, – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

Доказательство.