Примеры

• Пусть f(x) = x². Тогда

• Пусть f(x) = | x | . Тогда если то

f'(x₀) = sgn x₀,

где sgn  обозначает функцию знака. Если x₀ = 0, то а следовательно f'(x₀) не существует.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

• C' = 0

• x' = 1

• ^[2]

• ^[3]

• 

• …(g ≠ 0)

• (g ≠ 0)

• Если функция задана параметрически:

, то

Основная статья: Дифференцирование сложной функции

• 

• Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где  — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

• если функция дифференцируема на интервале (a,b), то она непрерывна на интервале (a,b). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y(x) = | x | на [ − 1,1]);

• если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x, то f'(x) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

• производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

• 

Доказательство  

y = f(x)^g(x)

ln y = g(x)ln f(x)

■

Таблица производных некоторых функций

Основная статья: Таблица производных

Функция	Производная	Примечание
		Доказательство: Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.
		Доказательство: Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

•  — производная суммы есть сумма производных.

•  — здесь  — дифференцируемая скалярная функция.

•  — дифференцирование скалярного произведения.

•  — дифференцирование векторного произведения.

•  — дифференцирование смешанного произведения.

Таблица производных

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Содержание 1 Производные простых функций 2 Производные экспоненциальных и логарифмических функций 3 Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций 4 Производные гиперболических функций 5 Правила дифференцирования общих функций

Производные простых функций

• 

• 

• 

Вывод  

(cx)' = cx' = c

•         когда и определены,

Вывод  

(x + h)^c = x^c + (x^c)'h + o(h)

(x + h)^c − x^c = (x^c)'h + o(h)

cx^{c − 1}h + o(h) = (x^c)'h + o(h)

cx^{c − 1} = (x^c)'

• 

Вывод  

Так как , то пусть и

Тогда

• 

• 

• 

• 

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

• 

Вывод  

• 

• 

• 

• 

Вывод  

log_a(x + h) = log_ax + (log_ax)'h + o(h)

log_a(x + h) − log_ax = (log_ax)'h + o(h)

• 

Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций

• 

Вывод  

sin(x + h) = sin x + (sin x)'h + o(h)

sin(x + h) − sin x = (sin x)'h + o(h)

(cos x)h + o(h) = (sin x)'h + o(h)

cos x = sin 'x

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Производные гиперболических функций

Правила дифференцирования общих функций

(частный случай формулы Лейбница)

 — Правило дифференцирования сложной функции

Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x₀, а функция g имеет производную в точке y₀ = f(x₀), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x₀.

Содержание 1 Одномерный случай 1.1 Замечание 1.2 Инвариантность формы первого дифференциала 1.3 Пример 2 Многомерный случай 2.1 Следствия

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где y₀ = f(x₀), и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции z = g(y) в точке y₀ имеет вид:

где dy — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

Многомерный случай

Пусть даны функции где y₀ = f(x₀), и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

dh(x₀) = dg(y₀) * df(x₀).

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

• 

Производная обратной функции

Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.

Содержание 1 Теорема (о дифференцировании обратной функции) 2 Примеры

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

Доказательство  

Пусть - дифференцируемая функция, . Пусть - приращение независимой переменной y и Δx - соответствующее приращение обратной функции . Напишем тождество

Переходя в этом равенстве к пределу при , которое влечет за собой стремление к нулю (), получим:

, где x'_y - производная обратной функции.

Замечание Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид