Алгоритм решений произвольной системы линейных уравнений:

1.Найти ранг основной и расширенной матрицы исследуемой системы. Если rang =rangA, то система совместна. В противном случае она несовместна.

2.Если система совместна, нужно найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых составляют базисный минор, носят название главных. Остальные n-r неизвестных называются свободными и переносятся в правые части уравнений.

3.Найти выражение главных неизвестных через свободные, получив тем самым общее решение.

4.Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получить соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом находятся частные решения исходной системы линейных уравнений.

Примеры:

№1

Показать, что эта система совместна, используя теорему Кронекера –Капелли:

Решение:

Система линейных алгебраических уравнений совместна, если ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы, т.е., rang =rang A.

1. Составим основную и расширенную матрицу данной системы:

основная матрица данной системы

расширенная матрица данной системы

2. Найдём ранг основной матрицы(rangA). Для этого запишем определители третьего порядка, поскольку матрица содержит три строки. Таких определителей – четыре

Так как определитель, имеющий 2 одинаковых ряда равен 0.

-( по свойству определителей)

Все определители третьего порядка равны нулю, поэтому найдём миноры 2-го порядка.

Общее число таких миноров- восемнадцать . Найдем среди них хотя бы несколько не равных нулю:

Видно, что среди них есть не равные нулю миноры.

Значит rangA=2.

3.Теперь найдем rang .Так как матрица имеет три строки, ищем миноры третьего порядка. Их общее число – десять

- (определители, имеющие 2 одинаковых ряда, равны 0.)

- (для определителей с двумя одинаковыми рядами)

Так как миноры 3-го порядка равны нулю, то найдем, не равные нулю, миноры 2-го порядка. Таких миноров – тридцать Среди них есть не равные нулю:

Значит rang =2

Вывод: Так как rang A=2, то, по теореме Кронекера - Капелли, исследуемая система совместна.

№2

Исследовать на совместимость, приведенную ниже систему:

Решение:

1.Составим основную и расширенную матрицы:

2.Для определения rang A и системы в целом вычислим миноры 3-го порядка основной матрицы и выявим среди них не равные нулю, если таковых нет, аналогично исследуем миноры 2-го порядка:

Общее число миноров третьего порядка десять

rang A=3

Есть отличные от нуля, миноры третьего порядка. Найдем несколько, не равных нулю, миноров второго порядка. Их общее число – тридцать

Есть отличные от нуля миноры второго порядка, следовательно rang A=2

3.Теперь найдём миноры третьего порядка расширенной матрицы. Их общее число- двадцать

Поэтому отыщем несколько таких миноров, не равных нулю:

Есть отличные от нуля миноры третьего порядка, следовательно, rang =3

Вывод: Так как rang =rang A,то, по теореме Кронекера- Капели( системы линейных алгебраических уравнений совместна только тогда, когда rang A=rang ), эта система несовместна.

№3

Исследуйте на совместимость , ниже приведенную систему, используя теорему Кронекера – Капелли: