Федеральное Агентство Железнодорожного транспорта.

Государственное Образовательное Учреждение

Высшего Профессионального Образования.

Иркутский Государственный университет Путей сообщения.

Северобайкальский филиал.

Пособие к выполнению и оформлению самостоятельной работы студентов

По разделу курса высшей математики «Линейная алгебра».

Тема: « Системы линейных алгебраических уравнений».

Составила: студентка 1-ого курса

ИрГУПС, группа Э-09-11-1

С.С.Сергина

Р.Р.Казарова

Под редакцией профессора

В.К.Турчанинова

г.Северобайкальск.2011г.

Системы линейных алгебраических уравнений.

Основные понятия:

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида:

Числа называются коэффициентами системы. Числа – свободными членами. Нахождению подлежат неизвестные.

Основной матрицей данной системы называется матрица, состоящая из коэффициентов , вида:,

Расширенной матрицей называется основная матрица данной системы , дополненная столбцом из свободных членов:

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Несовместная система не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение.

Неопределенная система имеет более одного решения.

Каждое из её решений носит название частного решения. Совокупность всех частных решений даёт общее решение.

Решить систему, значит определить, в первую очередь, совместна ли она или несовместна. Если система совместна, то

тогда найти её общее решение.

Теорема Кронекера-Капелли.

• Совместность системы.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений числом m- и n- неизвестными.

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает нам теорема Кронекера-Капелли.

Её суть: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу её основной матрицы:rangA=rang

Практически полезное правило, позволяющее разыскивать все решения линейной системы уравнений формулируется следующим образом: если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Второе полезное правило: если ранг системы( совместной) меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.