2. Задачи для самостоятельного решения

Значения функций представить в алгебраической форме

,	,
,	Ln 6 ,
,	Ln (1 + i) ,
,
,	Ln 6,
	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,	,
,

3. Аналитические функции комплексного переменного

   1. Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного.

Однозначная функция, определенная в некоторой окрестности точки, называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечный предел

Этот предел называется производной функции в точке (если предел существует, то он не зависит от способа стремления к).

Критерий дифференцируемости функции в точке. Для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы частные производные функции и были непрерывны в точке и удовлетворяли условиям Коши-Римана

(3.1)

Производная может быть найдена по одной из следующих формул:

(3.2)

Условия Коши-Римана в полярных координатах:

Производная в полярных координатах вычисляется по формуле

Функция, определенная в окрестности точки , называется аналитической в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

2. Примеры с решениями

Пример 3.1. Показать, что функция не аналитическая ни в одной точке комплексной плоскости и дифференцируема только в точке. Найти.

Решение. Поскольку, то, ,;. Т.е. условия Коши -Римана выполняются только в точке, и не в какой другой точке. Поэтому функция не аналитическая. Найдем производную в точке. Имеем

Пример 3.2. Показать, что для функции выполняются условия Коши-Римана в точке, но производная не существует.

Решение. Поскольку , то,; из.. Таким образом условия Коши-Римана в точке выполняются. Но действительная часть этой функции, не дифференцируема в точке (0,0), тем самым не выполнено одно из условий критерия существования производной.

Пример 3.3. Найти области дифференцируемости и аналитичности функции. Доказать, что.

Решение.., , , Как видим, условия Коши-Римана выполняются на всей комплексной плоскости, а соответствующие частные производные непрерывны, следовательно, функция дифференцируема и аналитична во все комплексной плоскости. Найдем производную. По формуле (3.2) получим.

Пример 3.4. Найти области дифференцируемости и аналитичности функции. Доказать, что.

Решение. Действительные и мнимые части этой функции проще найти в полярных координатах с помощью формулы Муавра. Имеем

Частные производные от действительной и мнимой части соответственно равны

, ,

,.

Как видим, условия Коши-Римана (3.3) выполняются на всей комплексной плоскости, а соответствующие частные производные непрерывны, следовательно, функция дифференцируема и аналитична на всей комплексной плоскости. Производную найдем по формуле (3.4). Имеем

.

Восстановление аналитических функций. Условия Коши-Римана позволяют восстановить аналитическую функцию по ее известной действительной или мнимой части. Например, если известна функция, то

Остается восстановить функцию по ее полному дифференциалу.

Отметим также следующие формулы

(3.5)

(3.6)

Докажем формулу (3.5). Пусть функция , где и - действительные функции своих переменных, которые имеют аналитические продолжения на область комплексных значений параметров a и b. Тогда, полагая, , получим. Или

Аналогично, поменяв местами параметры z и z₀, получим

.

Применим к последнему выражению операцию комплексного сопряжения, учитывая что и - действительные функции своих переменных.

Окончательно

Тогда, что и требовалось доказать. Формула (3.6) доказывается аналогично.

Пример 3.5. Определить аналитическую функцию, если,.

Решение. Рассмотрим способ, основанный на условиях Коши-Римана. Имеем

, .

Интегрируя первое равенство по, получаем

.

Подставляя полученную функцию во второе равенство, получаем

.

Откуда имеем:, т.е. . Поэтому. Значение константы находим из условия., т.е.. И мы получаем ответ

или.

Пример 3.6. Определить аналитическую функцию, если.

Решение. Используем формулу (3.6).

Отметим, что восстановление аналитической функции путем интегрирования, как в примере 5, гораздо сложнее.