1.7. Линейная зависимость и независимость векторов

Определение 9. Система векторов (1) данного векторного пространства называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору только с нулевыми коэффициентами.

 линейно независима  ().

Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор коэффициентов ₁, ₂, … , _n, такой, что .

Задача 4.

Определение 10. Система векторов (1) называется максимальной линейно независимой, если сама она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора из данного векторного пространства она становится линейно зависимой.

Теорема 1. Линейно независимая система векторов (1) данного векторного пространства V является максимальной линейно независимой тогда и только тогда, когда любой вектор из V можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1).

Доказательство.  Пусть системе векторов является максимальной линейно независимой и пусть  любой вектор из V. По определению 10, система , будет линейно зависимой, т.е. найдётся такой ненулевой набор коэффициентов ₁, ₂, … ,_n, , что . Если бы  = 0, то с ненулевым набором коэффициентов, что противоречит определению (10). Следовательно,   0 и, поэтому . Итак, любой вектор является линейной комбинацией векторов системы (1).

 Пусть любой вектор можно представить в виде . Отсюда следует, что . Так как набор коэффициентов (1, ₁, ₂, … ,_n) ненулевой, то система векторов , будет линейно зависимой. Следовательно, система (1) будет максимальной линейно независимой.

Примеры.

1. Во множестве всех геометрических векторов любая тройка некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой системой векторов.

2. Во множестве всех компланарных векторов любая пара неколлинеарных векторов является максимальной линейно независимой системой векторов.

3. Во множестве всех коллинеарных векторов любая максимальная линейно независимая система состоит из одного ненулевого вектора.

4. Векторное пространство, состоящее из одного нулевого вектора, не имеет линейно независимых систем векторов.

1.8. Базис векторного пространства. Координаты вектора

Пусть V – любое векторное пространство.

Определение 11. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная максимальная линейно независимая система его векторов.

(Обратите внимание: если система векторов является максимальной линейно независимой, то системы ; ; являются различными базисами.)

Примеры.

1. Во множестве всех геометрических векторов базисом является любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

2. Во множестве всех компланарных векторов базисом является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

3. Во множестве всех коллинеарных векторов базисом является любой ненулевой вектор.

4. Векторное пространство, состоящее из одного нулевого вектора, не имеет базиса.

Определение 12. Число векторов в базисе векторного пространства называется размерностью этого пространства.

Следовательно, множество всех геометрических векторов есть трёхмерное векторное пространство. Множество всех компланарных векторов – двумерное векторное пространство. Множество всех коллинеарных векторов – одномерное векторное пространство.

Определение 13. Координатами вектора в данном базисе называется упорядоченный набор коэффициентов, с помощью которых этот вектор выражается через базисные векторы.

Пусть е =  базис и . Упорядоченный набор х, у, z  это координаты вектора в базисе е. Обозначение = х, у, z. Если используется несколько базисов, то обозначают = х, у, z_е.

Задача 5. Пусть АВСD – параллелограмм, , ,

. Пусть , . Покажите, что  базис во множестве всех векторов плоскости параллелограмма. Найдите координаты векторов , , , и .

Рис. 8

Решение. Так как векторы неколлинеарны, то их можно взять за базисные в векторном пространстве всех векторов плоскости параллелограмма. Для нахождения координат любого вектора достаточно этот вектор выразить через базисные.

Так как , то . Так как , то . Так как , то . Так как , то . Так как , то .

Свойства координат (все свойства будем доказывать для трёхмерного векторного пространства).

1⁰. В данном базисе каждый вектор имеет единственный набор координат.

Доказательство.

Пусть е =  базис векторного пространства и  любой вектор этого пространства. Предположим, что имеет два набора координат, т.е. и . Тогда . Отсюда . Так как векторы линейно независимы, то последнее равенство возможно только при нулевых коэффициентах. Следовательно, х₁ = х₂ , у₁ = у₂ , z₁ = z₂ .

2⁰. Если векторы заданы координатами в одном и том же базисе, то

а) при сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются);

б) при умножении вектора на действительное число на это число умножается каждая его координата.

Доказательство.

Пусть е =  базис векторного пространства, = х₁ , у₁ , z₁и = х₂ , у₂ , z₂. Тогда . Отсюда . Так как , то .

3⁰. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты в одном и том же базисе пропорциональны. (Докажите самостоятельно.)

4⁰. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, строчками которого являются координаты данных векторов, равен нулю. (Докажите самостоятельно.)

Задача 6. При каких значениях  и  векторы = 1, 2, , = 3, 1, 4 и = , 0, 5 будут компланарными?

Решение. Векторы , и будут компланарными тогда и только тогда, когда будет равен нулю определитель из их координат, т.е. . Раскрыв определитель, получим 5  8   + 30 = 0. Отсюда  (8 + ) = 35. При всех  и , удовлетворяющих полученному условию, векторы будут компланарными, например, при  = 1 и  = 5.