2.3. Миноры и алгебраические дополнения
Вычисление определителей на основании данного выше определения представляет некоторые трудности. Существует более простой метод вычисления определителей, основанный на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков.
Пусть
дана квадратная матрица
.
Будем называть минором элемента
матрицы А определитель (n-1)-го
порядка, соответствующий матрице,
которая получается из матрицы А
вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца.
Минор элемента
будем обозначать символом M
.
Например,
,
.
Алгебраическим
дополнением A
элемента
матрицы А называется его минор, взятый
со знаком (-1)
,
т.е.
.
Например, в предыдущей матрице
.
Теорема.
Произведение любого элемента
на его алгебраическое дополнение в
определителе |A|
является алгебраической суммой, слагаемые
которой будут некоторыми членами
определителя |A|,
причем их знаки в этой сумме совпадают
с теми знаками, с которыми они входят в
состав определителя.
Покажем
сначала, что произведение
является алгебраической суммой, слагаемые
которой удовлетворяют условию теоремы.
В определителе
М
занимает правый нижний угол. Число i+j
является в этом случае четным и поэтому
.
Произвольный член
|
|
(2.3.1) |
имеет в миноре
знак
,
где inv(
,
,...,
)
есть число инверсий в подстановке
.
Умножая
на (2.3.1), получим произведение
|
|
(2.3.2) |
элементов,
расположенных в разных строках и разных
столбцах определителя |A|. Поэтому каждое
такое произведение (2.3.2) будет членом
определителя |A|. Знаки членов (2.3.2) и
(2.3.1) совпадают, так как знак члена (2.3.2)
определяется выражением
=
.
Такой же знак имеет каждый член (2.2.3) и
в определителе |A|,
так как четность подстановки
,
составленной из индексов этого члена,
определяется выражением
.
Перейдем к рассмотрению общего случая.
Переставляя
соседние строки и столбцы определителя
|A|,
передвинем произвольный элемент
в левый верхний угол. Для этой цели
переставим i–ую строку на (i–1)
раз и j–ый
столбец на (j–1) раз. Очевидно, что при
данной перестановке взаимное расположение
строк и столбцов в миноре M
остается без изменения. После этих
преобразований получим новый определитель
|A
|
с тем же минором M
для элемента
,
но расположенный в правом нижнем углу
определителя |A
|.
Как
доказано выше, произведение
M
является суммой некоторого числа членов
определителя |A
|.
Однако определитель |A
|
получен из определителя |A|
путем (i+j-2) перестановок строк и столбцов,
и поэтому члены определителя |A
|
отличаются от соответствующих членов
определителя |A|
лишь знаком
.
Отсюда следует, что произведение
состоит из некоторого количества членов
определителя |A|, взятых с такими же
знаками, какие они имеют в этом
определителе. Теорема доказана.
2.4. Вычисление определителей n-го порядка
Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют свести вычисление определителей порядка n к вычислению нескольких определителей порядка n-1.
Действительно,
является суммой нескольких членов
определителя |A|.
Легко подсчитать число этих членов: оно
равно числу членов в миноре
,
т.е. равно (n-1)!.
Рассмотрим теперь все произведения элементов i-ой строки на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е. произведения
|
|
(2.4.1) |
С
одной стороны, никакой член определителя
|A| не может войти в состав двух разных
произведений (2.4.1), так как все члены
определителя, входящие в любое произведение
,
содержат из i-й
строки элемент
и поэтому отличается от членов, входящих
в остальные произведения.
С
другой стороны, общее число членов
определителя |A|, входящих во все
произведения (2.3.1), равно
,
т.е. совпадает с числом членов определителя
порядка n.
Таким образом, мы доказали, что имеет место следующая теорема.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки на их алгебраические дополнения, т.е.
|
|
(2.4.2) |
Аналогично разложение определителя можно получить и по любому его столбцу.
Теорема. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (другого столбца) равна нулю.
Перепишем выражение (2.4.2) в виде
|
|
(2.4.3) |
так
как алгебраические дополнения
не зависит от элементов i-ой
строки, то равенство (2.4.3) является
тождеством относительно элементов
.
Заменив
элементы
соответствующими элементами любой k-ой
строки,
,
получим
|
|
(2.4.4) |
Левая часть равенства (2.4.4) есть определитель, содержащий две одинаковые строки и, следовательно, равна нулю. Теорема доказана.
Вычисление определителей n-го порядка производится на основании соотношения (2.4.2) разложением определителя по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. В этом случае необходимо вычислить n определителей порядка n-1. Используя следствие 5, можно свести вычисления определителя порядка n к вычислению лишь одного определителя порядка (n-1). Для этого на основании следствия 5 необходимо так преобразовать определитель порядка n, чтобы некоторая строка (столбец) содержала только один ненулевой элемент.
Пример. Вычислить определитель.
.
Решение. На основании свойства определителей, именно следствия 5, преобразуем данный определитель следующим образом: из элементов второго столбца вычтем удвоенные соответствующие элементы первого столбца:
Элемент
назовем направляющим элементом. Второй
столбец преобразуем в единичный с
единицей на месте направляющего элемента
.
Для этого ко второй и к четвертой строкам
прибавим направляющую пятую строку,
соответственно умноженную на 1 и на 2.
Тогда
Разложим определитель по элементам второго столбца
.
Из элементов второй строки вычтем удвоенные соответствующие элементы первой строки
.
Выбирая
в качестве направляющего элемента
элемент
,
преобразуем вторую строку в единичную.
Для этого ко второму, третьему и четвертому
столбцам прибавим первый столбец,
умноженный на –1.
.
Разложим определитель по элементам второй строки:
.
Вычтем из второй строки первую и разложим определитель по элементам второй строки. В результате получим
.