9.5. Функция Эйлера

Определение: Функция Эйлера φ(m) определяется для всех целых положительных m и равна количеству чисел ряда 1, 2, ..., m-1, взаимно простых с m, где число 1 полагается взаимно простым с любым из чисел и φ(1)=1.

Примеры: φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4, φ(6)=2.

Функция Эйлера обладает рядом свойств, позволяющих получать важные результаты в исследованиях по теории чисел.

9.6. Функция Мебиуса

Определение. Функция Мебиуса μ(n) определяется для всех целых положительных n и равна

где

разложение на простые множители,

p_i – простые числа, α_i – кратность p_i в разложении.

Примеры.

Функция Мебиуса применяется в исследованиях по теории чисел.

9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 9

1. Найти (343; 667) алгоритмом Евклида.

2. Найти (285; 437) алгоритмом Евклида.

3. Найти (255; 391) алгоритмом Евклида.

4. Проиллюстрировать решето Эрастофена для составления таблицы простых числе ряда: 1, 2, ....50.

5. Проиллюстрировать решето Эрастофена для составления таблицы простых чисел ряда:

1, 2,.......100.

6. Доказать следующие свойства сравнений:

а≡а (mod m) – свойство рефлексивности,

а≡в (mod m) ═> в≡а (mod m) – свойство симметричности,

а≡в (mod m), в≡с (mod m) ═> a≡c (mod m) – свойство транзитивности.

7. Доказать свойство сравнений:

а≡в (mod m) ═> (a, m)=(в, т).

8. Доказать свойство сравнений:

а≡в (mod m), c≡d (mod m) ═> a+c≡в+d (mod m).

9. Используя свойства вычетов и сравнений, доказать что

10. Используя свойства вычетов и сравнений, доказать, что

11. Найти значения функции Эйлера:

φ(7), φ(8), φ(9), φ(10).

12. Найти значения функции Мебиуса:

μ(8), μ(9), μ(10), μ(11)

Список литературы

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.

2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.

4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1975.

5. Блох Э.Л, Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения. – М.: Высшая школа, 1971.

6. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М., 1974.

8. Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

9. Алферова З.В., Матричная алгебра. – М.: МЭСИ, 1997.

10. Линейная алгебра: учебное пособие / Балюкевич Э.Л., Горбовцов Г.Я., Громенко Т.С., Ковалева Л.Ф., Мокеева И.К.; Моск. эконом.-стат. ин-т. – М., 1988.

11. Виноградов И.М. Основы теории чисел. СПб., Издательство «Лань», 2004.

12. Колосов В.А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М., Гелиос АРВ, 2001.

13. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М., МЦНМО, 2002

14. Смолин Ю.Н. Алгебра и теория чисел. М., Флинта Наука. 2006.