
- •Оглавление
- •Глава I. Алгебра матриц
- •1.1. Матрицы. Основные определения
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1
- •Глава 2. Определители
- •2.1. Перестановки и подстановки
- •2.2. Определители и их свойства
- •2.3. Миноры и алгебраические дополнения
- •2.4. Вычисление определителей n-го порядка
- •2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2
- •Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)
- •3.1. Обратная матрица
- •3.2. Ранг матрицы
- •3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы
- •3.4. Многочленные матрицы
- •3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
- •Глава 4. Решение системы линейных уравнений
- •4.1. Система линейных уравнений
- •4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •4.3. Теорема Кронекера-Капелли
- •4.4. Метод Жордана-Гаусса
- •4.5. Однородные системы линейных уравнений
- •4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4
- •Глава 5. Векторные пространства
- •5.1. Понятие векторного пространства
- •5.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •5.3. Базис векторного пространства
- •5.4. Изоморфизм векторных пространств
- •5.5. Преобразование координат при изменении базиса
- •5.6. Евклидово пространство
- •5.7. Ортогональные преобразования
- •5.8. Выпуклые множества
- •5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5
- •Глава 6. Линейные операторы
- •6.1. Определение линейного оператора
- •6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
- •6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
- •6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6
- •Глава 7. Квадратичные формы
- •7.1. Определение квадратичной формы
- •7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
- •7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
- •7.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
- •Глава 8. Элементы общей алгебры
- •8.1. Алгебраические операции
- •8.2. Полугруппы и моноиды
- •8.3. Группы: определение и примеры
- •8.4. Циклические группы. Группы подстановок
- •8.5. Кольца: определение, свойства, примеры
- •8.6. Поле
- •8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
- •Глава 9. Элементы теории чисел
- •9.1. Наибольший общий делитель
- •9.2. Наименьшее общее кратное
- •9.3. Простые числа
- •9.4. Сравнения и классы вычетов
- •9.5. Функция Эйлера
- •9.6. Функция Мебиуса
- •9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 9
- •Список литературы
8.3. Группы: определение и примеры
Непустое множество G с одной бинарной алгебраической опера-цией называется группой, если выполняются следующие условия:
-
операция в G ассоциативна;
-
в G существует единичный элемент е: еа=ае=а для всех a
G;
-
для каждого элемента a существует обратный ему элемент а-1: aa-1=a-1a=e.
Иными словами, моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой.
Если операция в G коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.
Подмножество
HG
называется
подгруппой
в
G,
если ему принадлежит единичный элемент
е,
для
любых элементов h1,
h2
H
выполняется
h1h2
H,
т.
е. Н
замкнуто
относительно операции, и для любого h
H
выполняется h-1
H
Подгруппа
H
G
называется собственной,
если
Н≠е
и
H≠G.
Примеры.
-
Множество целых чисел образует группу целых чисел относительно операции сложения (Z, +, 0). Эта группа коммутативна. Аналогично множество рациональных и действительных чисел образует соответственно группы относительно сложения (Q, +, 0) и (R; +, 0). Подмножество четных чисел образует подгруппу. Подмножество нечетных чисел не образует подгруппу, так как операция сложения выводит из этого множества.
-
Множество целых чисел не образует группу относительно умножения, так как может не существовать обратного элемента. Все отличные от нуля рациональные числа и действительные числа образуют группы относительно умножения, причем коммутативные. Положительные рациональные и положительные действительные числа образуют подгруппы этих групп.
-
Пусть X—произвольное множество, S(X) — множество всех биективных отображений X в себя. Тогда S(X) — группа относительно операции композиции О. Она называется группой преобразований.
4. Рассмотрим множество Мп квадратных матриц порядка п с определителем, отличным от нуля. Это некоммутативная группа (Mn, •, Е) относительно операции умножения матриц, поскольку каждый элемент имеет обратный — обратную матрицу. Подмножество матриц с определителем, равным 1, образует подгруппу, так как
det E=l; det A = l; det B=1→det AB = l; det A = l→det A-1=l.
5. Множество элементов {x1, x2, х3, х4} относительно операции, определенной таблицей Кэли (см. табл. 8.1.),— группа. Для элемента х2, например, обратным является элемент x4.
8.4. Циклические группы. Группы подстановок
Пусть G —группа, H и F — ее подгруппы. Тогда пересечение D=H∩F непустое, поскольку оно содержит единичный элемент. D также является подгруппой группы G. Действительно, если элементы а и b принадлежат D, то их произведение и обратные им элементы содержатся как в H, так и в F, и поэтому также принадлежат D. Аналогично доказывается и следующее утверждение.
Теорема. Пересечение любого множества подгрупп группы G само является подгруппой этой группы.
Пусть S — произвольное непустое подмножество группы G. Рассмотрим всевозможные подгруппы G, которые содержат S в качестве подмножества. Одной из них будет, в частности, сама группа G. В силу теоремы пересечение всех таких подгрупп будет подгруппой G, которая называется подгруппой, порожденной множеством S, и обозначается <S>.
Если множество S состоит из одного элемента а, то порожденная им подгруппа <a> называется циклической подгруппой, порожденной элементом а.
Обозначим (a-1)k=a-k.
Теорема. Циклическая подгруппа <а>, порожденная элементом а, состоит из всех степеней элемента а.
Заметим, что все степени элемента а принадлежат подгруппе <а> и для любого целого k (a-1)-k=ak. С другой стороны, эти степени сами составляют подгруппу, так как aman=am+n, a°=e, а обратным элементу ап является элемент а-n. Действительно, нетрудно доказать, что для любых целых m и п
aman=am+n ; (ат)п=атп.
Для натуральных т и п это следует из свойств операций. Если m<0, n<0, то
aman =(a–1) –m(a–1)-n=(a–1)-(m+n)= am+n
Если m<0, n>0, то
aman =(a–1)-man=(a-1…a-1)(a…a)=
-m раз n раз
Случай m>0, n>0 аналогичен предыдущему. Доказательство второго равенства предлагается провести самостоятельно.
Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп (т. е. состоящая из степеней одного из своих элементов), называется циклической, а элемент, из степеней которого состоит циклическая группа,— ее образующим. Всякая циклическая группа коммутативна.
Пример.
-
Группа (Z, +, 0) — циклическая. Ее образующий элемент — число 1. Это бесконечная группа. В качестве ее образующего можно взять число 1.
-
Рассмотрим множество квадратных матриц второго порядка с целыми элементами и определителем, равным 1. Это группа относительно операции умножения матриц (покажите сами). Тогда матрица А =
порождает бесконечную циклическую подгруппу, при этом An=
.
Теорема. Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.
Действительно,
пусть G
= <a>—циклическая
группа с образующим элементом а
и
Н
—
подгруппа G,
отличная
от единичной. Предположим, что положительная
наименьшая степень элемента а,
содержащаяся
в H,
есть ak.
Тогда
<
ak
>
H.
Допустим, что в Н
содержится
элемент аl,
где
l≠0
и l
не делится на k.
Тогда, если d
—
наибольший общий делитель чисел k
и
l,
существуют такие целые числа и
и
v,
что
ku+lv=d,
и,
следовательно, в H
должен содержаться элемент (ak)u(al)v=ad.
Но
так как d<.k,
то
приходим к противоречию относительно
выбора элемента ak.
Следовательно, H=<ak>.
Пусть G — произвольная группа, a — некоторый ее элемент. Если все степени элемента а различны, то говорят, что элемент а имеет бесконечный порядок. Если для некоторых т и п, где т≠п, ат=ап, то a\m-n\=е, т. е. существуют положительные степени элемента а, равные единичному элементу. Пусть q — наименьшее положительное число, для которого аq=е. Тогда говорят, что a — элемент конечного порядка q.
Рассмотрим еще один важный класс групп.
Пусть
X—-конечное
множество из n
элементов. Группа всех биекций множества
X
в
себя
называется симметрической
группой
степени п.
Без
ограничения общности можно считать,
что множество X
состоит
из элементов {1, 2, ..., n}.
Каждая биекция
:Х
Х
называется
подстановкой
и
записывается символом
,
где
под элементом k,
1
k
n,
записан его образ
.
Произведением подстановок является
композиция отображений
.
Например, для подстановок
и
имеем
.
В то же время
,
так что
.
Единичную (тождественную) подстановку
обозначаем е=
.
Симметрическая группа степени п
обозначается
Sn
и
содержит n!
элементов.
Пример. Группа S3 состоит из следующих шести элементов:
a1=e=,
a2=
,
a3=
,
a4=
,
a5=
,
a6=
Для
подстановки
имеем
,
=e.
Тогда
(2)
=4,
2
(2) =5,
(2) =2.
В
подстановке
элементы
1 и 3 остаются на месте, элемент 2 переходит
в 4, элемент 4 — в 5, а элемент 5 — снова в
2. Такая подстановка называется циклом
(245) длины 3. Этот же цикл можно записать
и так: (452), (524).
В общем
случае подстановка
,
перемещающая элементы j1,
j2,…,jk
так, что
(т.
е.
где
k
— наименьшее
число, обладающее этим свойством), и
оставляющая на месте остальные элементы,
называется циклом
длины
k
и
обозначается (j1,…,jk).
Циклы называются независимыми,
если
любые два из них не имеют общих
переставляемых элементов.
Теорема.
Каждая
подстановка в Sn
является произведением независимых
циклов. Разложение подстановки в
произведение циклов длины
2
определено однозначно с точностью до
порядка циклов.
Два
элемента i
и j
множества X
называются
эквивалентными относительно подстановки
,
если j=
для некоторого целого числа s.
Введенное отношение есть отношение
эквивалентности на множестве X.
Оно разбивает множество X
на
классы эквивалентности по этому
отношению:
.
Каждый
элемент i
принадлежит
одному и только одному классу Xl,
причем
множество
Xl
состоит
из образов элемента i
при действии степеней подстановки
где kl
– количество
элементов в Xl.
Множество
Xl
часто
называют
.
В каждом классе эквивалентности Xr
выберем
по одному представителю ir
и
подставим ему в соответствие цикл
соответствующей длины kr.
Любой элемент, не принадлежащий Xr,
остается
на месте при действии степеней
.
Тогда подстановка
есть произведение циклов
(8.4.1.)
Замечание.
Если
цикл
имеет длину 1, то он действует как
тождественная подстановка, Такие циклы
в записи можно опускать, например:
=(156)(38)(47)(2)=(156)(38)(47).
Докажем единственность. Пусть
(8.4.2.)
есть
разложение, отличное от 8.4.1; i―
символ,
не остающийся на месте при действии
подстановки
.
Тогда для одного и только одного цикла
из разложения (8.4.1)
и
для одного и только одного цикла
из
разложения (8.4.2)
.
Для каждого k
=0, 1, 2, ... имеем
.
Поскольку цикл однозначно определяется
действием подстановки на символ i,
не
остающийся на месте, то
.
Аналогично
доказываются совпадения и остальных
циклов разложений (8.4.1) и (8.4.2).
Цикл длины 2 называется транспозицией. Любой цикл можно записать в виде произведения транспозиций, например:
(1 2...t-1 t)=(1 t)(1 t-1)...(1 3)(1 2).
Тогда из теоремы вытекает
Следствие. Каждая подстановка в Sn является произведением транспозиций.
Пример. В группе S4 (123)=(13) (12)=(23) (13)=(13) (24) (12) (14).
Разложение в произведение транспозиций не является единственным.
Можно
доказать, что если
—
разложение
в произведение транспозиций, то число
.=(-1)k,
называемое четностью подстановки
,
не зависит от способа разложения и
(8.4.3)
для
любых двух подстановок
и
.
Подстановка
называется четной, если
,
и нечетной, если
.
Все транспозиции – нечетные подстановки.
Множество
четных подстановок степени n
образуют подгруппу An,
которая
называется знакопеременной. Действительно,
согласно (8.4.3),
поскольку
Множество нечетных подстановок не
образует группу, так как произведение
двух нечетных подстановок есть четная
подстановка.