![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
4. Производная функции
Пусть функция
определена
в точке
и ее окрестности. Если существует
конечный предел
, (3)
то этот предел называется производной
функции в точке
и обозначается
или
.
При существовании односторонних пределов
или
говорят о существовании односторонних
производных.
Функция, имеющая в каждой точке промежутка конечную производную, называется дифференцируемой функцией на этом промежутке.
Вычисляется производная с использованием таблицы производных и согласно правилам дифференцировании.
|
|
Правила дифференцирования |
const |
0 |
АЛГОРИТМ вычисления производных:
Замечание.
Выражения
следует
предварительно преобразовать по
формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная от первой производной
называется второй
производной или производной второго
порядка и обозначается
или
.
Аналогично определяются производные
более высоких порядков.
Геометрический смысл производной.
Пусть функция непрерывна на промежутке
в окрестности точки
,
а график функции имеет в этой точке
касательную, не параллельную оси
.
Тогда
,
(4)
где
–
угол между положительным направлением
оси
и
касательной (рис. 1).
Рис. 1
Уравнение касательной к графику функции
в точке
имеет вид
.
(5)
Пример 3. Найти производную функции
в точке
.
Решение.
.
.
Пример 4. Найти производную функции
в точке
.
Решение. Заданная функция – сложная. Используем формулу дифференцирования сложной функции.
Тогда
.
Правило Лопиталя
Теорема.
Пусть функции 1)и
определены
в окрестности точки
и существуют конечные производные, 2)
,
3) существуют конечные производные
и
,
причем
,
4) существует предел
,
Тогда
.
●
Здесь
приведена одна из теорем Лопиталя.
Аналогичное правило вычисления предела
справедливо д с неопределенностью
.
Примеры вычисления пределов с помощью правила Лопиталя:
1.
,
2.,
3.
.
Во втором примере мы применили правило Лопиталя 4 раза. В третьем примере правило Лопиталя не применимо, так как не существует предела производных. Нет лекарства от всех бед. Предел же легко вычисляется с использованием теорем и равен единице.
Рекомендуем запомнить пределы:
,
.