![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Определение предела функции
Число
называется
пределом
функции
при
,
если для любого сколь угодно малого
найдется
,
такое что для всех значений
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполнено неравенство
.
При этом пишут
или
.
В символах математического анализа
определение может быть записано так:
.
Выше приведено
определение для случая конечных значений
и
.
Оно может быть переделано для случаев,
когда
или
обращаются в бесконечность
.
При этом соответствующие неравенства
должны быть заменены на неравенства
типа
,
если
,
,если
,
,
если
и т.п.
Переменная величина
называется
бесконечно малой
величиной при
,
если
.
Пусть
,
где
–
конечные числа,
–
любое конечное число или бесконечность.
Теоремы о пределах:
-
.
-
.
-
Если
.
-
Пусть
– конечное число. Тогда:
а)
б)
в)
.
5. Пусть
,
тогда
.
●
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если она определена в этой точке и
.
Для непрерывной функции возможен переход
к пределу под знаком функции.
Предельные переходы, содержащие нуль
или бесконечность, при
кратко можно записать так:
,
(1)
где выражение, заключенное в квадратные скобки, понимается как предельное значение. Выражения вида:
,
(2)
─ называются неопределенностями,
что означает, что нельзя дать ответ,
используя правила (1), Например, рассмотрим
три функции:
при
.
Отношение любых двух функций из
указанных трех приводит к неопределенности
.
Однако, пределы этих отношений различны,
например:
,
,
.
Неопределенности (2) всегда можно перевести из одной в другую. Кроме указанных выражений неопределенностями являются предельные выражения:
.
При вычислении пределов сначала подставляется предельное значение переменной. Если выполнены условия теорем, то сразу получаем ответ. Если при подстановке получается неопределенность, то следует предварительно преобразовать выражение, а затем подставить предельное значение.
Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10..
11.
.
12.
.
13.
В примерах 1─3,6─8 можно сразу записать
ответ. В остальных примерах первая
подстановка приводит к неопределенности,
поэтому: сначала проводим преобразование.
Так в примере 13 мы умножили числитель
и знаменатель на сопряженное выражение,
что позволило затем сократить дробь.
Обратите внимание, что выражение
,
и это позволило вынести множитель
за знак предела.
Проанализировав решения примеров 9–11,
замечаем, что при вычислении пределов
типа
,
приходим к пределу отношения членов со
старшими степенями. Окончательный ответ
зависит от соотношения степеней.
Аналогичная ситуация и для выражений,
содержащих дробные степени или радикалы.
Например, вычисляя
,
приходим к неопределенности
.
Выбрав в числителе и знаменателе
слагаемые со старшими степенями
.
получаем решение:
.