![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
2. Односторонние пределы
Если
,
оставаясь больше (или меньше)
,
то такие пределы называются односторонними
пределами или пределами справа
(слева). Стремление переменной к
предельному значению слева будем
записывать
при стремлении справа
,
а сами предельные значения функции
или
.
При
или
также имеем односторонние пределы:
и
.
Сравните два предела
,
.
Как указано в первом разделе: функция
называется непрерывной
в точке
,
если она определена в этой точке и
.
Если функция не является непрерывной
в точке
,
то говорят, что функция имеет разрыв в
точке
.
Разрывы функции имеют три типа и связаны
с поведением функции слева и справа от
точки разрыва.
1. Устранимый
разрыв. Существуют левосторонний
и правосторонний пределы, оба предела
конечны, равны между собой, а функция
не определена в точке
:
.
2. Разрыв первого рода (скачок). Существуют левосторонний и правосторонний пределы, оба предела конечны, но они не равны между собой.
3. Разрыв второго рода. Один из пределов или оба обращаются в бесконечность или не существуют.
Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.
Пример 1. Исследовать
поведение функции
на границе ее области определения.
Решение.
.
Определим пределы функции в граничных
точках
и при
:
Пример 2. Исследовать поведение
функции
на границе ее области определения.
Решение.
.
Определим пределы функции в граничных
точках
и при
.
Заметим, что каждая из точек
граничной точкой является дважды.
Поэтому в этих точках вычислим
односторонние пределы:
3. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
В приведенных выше примерах нам было достаточно несложных алгебраических преобразований для получения ответа. Иная ситуация возникает, если выражение содержит трансцендентные функции, типа синуса, логарифма и другие. В этом случае нам помогут некоторые пределы, называемые в математике «замечательными» пределами и сравнение бесконечно малых величин между собой.
Первый замечательный
предел:
,
Второй замечательный
предел:
,
или
,
-
иррациональное число.
Сравнение бесконечно малых величин
между собой определяется через предел
их отношения. Пусть
и
бесконечно малые величины при
.
Правила сравнения запишем в таблицу:
|
Величины одного порядка малости |
|
|
Эквивалентные величины |
Читается:
|
|
Величина
|
Читается:
|
|
Величины не сравнимы между собой |
|
На основании замечательных пределов
можно получить таблицу эквивалентных
величин при
.
Заметим, что слева в формулах стоят различные функции, а сравниваются все они со степенной функцией, наиболее простой для работы.
Примеры сравнений:
.
Теорема. Пусть при
.
Тогда справедливы равенства:
,
.
●
Примеры на вычисление пределов с использованием таблицы эквивалентных величин:
,
.
Если при вычислении пределов с
неопределенностью
переменная стремится к числу, отличному
от нуля, то для возможности использовать
таблицу, сначала необходимо сделать
замену переменной. Например:
.
Пояснения к решению примера. Подставив
предельное значение в заданный пример,
получили неопределенность вида
,
т.е. отношение бесконечно малых величин.
Но таблицей воспользоваться нельзя,
так как таблица справедлива только для
случая, если переменная стремится к
нулю. Сделаем замену переменной (замена
выделена вертикальными линиями) и
преобразуем выражение. Подставив новую
переменную в выражение для предела,
снова получаем неопределенность
,
но теперь мы уже могли воспользоваться
таблицей эквивалентных величин, что и
было сделано.
Вычисление пределов при неопределенности
.
Можно предложить несколько способов.
Рассмотрим пример: вычислить
.
Непосредственная подстановка предельного
значения приводит к неопределенности
.
Первый способ – логарифмировать
заданное выражение. Обозначив заданную
функцию
,
получаем
,
.
Следовательно,
.
Второй
способ ─ построение выражения в виде
:
.