Раздел 1. Дифференциальное исчисление

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Понятие функции

1.1. Найти области определения и построить графики функций:

1.2. Найти области определения функций

1.3. По заданным функциям построить сложную функцию

Числовая последовательность и ее предел

1.4. Написать пять первых членов последовательности:

1.5. Написать формулу общего члена последовательности:

Используя определения предела последовательности, доказать равенства:

Предел функции

Используя определения предела функции, доказать равенства

Найти пределы:

Используя первый замечательный предел, найти:

Непрерывность функций. Точки разрыва

Найти точки разрыва функции

81. Исследовать на непрерывность функцию на отрезке:

82. Исследовать на непрерывность функцию на отрезке:

Определить характер точек разрыва:

Литература: [1; 2; 6; 7; 9]

Учебно-методическая литература:[5]

Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Понятие производной. Нахождение производных

Исходя из определения производной, найдите производную функции:

Найти производные:

Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций:

2.9. y=cos (x² +2x - 4). 2.10. y=sin (x³ - 3x +5).

2.11. y=sin e^x. 2.12. y=cos ln x.

2.13. y=e ^2x-3. 2.14. y=e.

2.15. y=e^tgx . 2.16. y=e^sinx.

2.17. y= ln(1+2). 2.18. y= ln( 2x² +4x -1).

Составить уравнения касательных к графикам функций:

2.19. y=x² - 3x + 2 в точке (3;2).

2.20. y= в точке (4;2).

2.21. y= ln x в точке пересечения с осью Оx.

2.22. y= x² - 5x + 6 в точках пересечения с осью Оx.

2.23. y=e^7x в точке пересечения с осью Оy.

Понятие дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков

Найти дифференциалы функций:

2.24. y= x³ - 3ln x. 2.25. y= cos x e^x.

2.26. y= sin 3x. 2.27. y= tg ln x.

2.28. y= x² arctg x. 2.29. y= .

2.30. y= . 2.31. y= .

2.32. Найти приближенно приращение у:

1) функции у= , если х= 4, х= 0,08;

2) функции у= sinx, если х= , х= 0,02;

Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:

2.33. y= x³ - 3x² + x + 1. 2.34. y= (0,1x+1)⁵.

2.35. y= xcos2x. 2.36. y= sin²x.

Найти производные 3-го порядка от функций:

2.37. y=e^x cosx. 2.38. y= x²e^x .

2.39. y=ln(2x+5). 2.40. y= xlnx.

Найти производные n-го порядка от функций:

2.41. y= . 2.42. y= e^2x.

2.43. y= 5^x. 2.44. y= ln(1+x).

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Правило Лопиталя

2.45. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции:

1) f(x)=x, x [0,1];

2) f(x)=;

Найти пределы с помощью правила Лопиталя:

2.46. 2.47.

2.48. 2.49.

2.50. 2.51.

2.52. 2.53.

2.54. 2.55.

Исследование функций и построение графиков.

2.56. Найти максимумы и минимумы и промежутки возрастания и убывания функций:

1) f(x)=x³ - 3x² - 9x + 5; 2) f(x)=

3) f(x)=xlnx; 4) f(x)= x - arctg2x;

Применение дифференциального исчисления в экономических вопросах.

2.57. Зависимость спроса (объема продаж) от цены выражается формулой d(p)=. Определить, для каких p спрос эластичен, неэластичен, нейтрален.

2.58. Зависимость спроса от цены при р выражается формулой d(p)=, где >0-const. Определить, когда спрос будет эластичен, неэластичен, нейтрален.

2.59. Пусть х – объем продаж некоторого товара торговой фирмой, р(х) – функция спроса (выражает зависимость между ценой и объемом продаж), Z(х) – функция издержек (затраты фирмы на реализацию товара). Учитывая, что прибыль от продажи товара находится по формуле V(x) = x p(x) – Z(x), определить:

а) интервалы значений объемов продаж, при которых торговля этим товаром будет прибыльной (убыточной);

б) оптимальные значения объема продаж х* и цены р*, обеспечивающие максимум прибыли V(x), вычислить V_max.

Используя эскизы графиков функций выручки W(x) =x p(x) и функции издержек Z(x), дать геометрическую интерпретацию полученным результатам.

Выполнить задание для случаев:

1) р(х)=155-3х, Z(x)=1800+5х;

2) р(х)= 100-2х, Z(x)= 375+3х²;

3) р(х)= Z(x)=21+х;

Литература: [1; 2; 6; 7; 9]

Учебно-методическая литература: [5]