![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
3. Построение завышенной оценки
Итак, попробуем подставить во вторую вариацию действительного возмущения не точную экстремаль, а более простую функцию
, (80)
полученную как суперпозицию
функции
(см (59)) и солитонного решения:
(81)
Из условия ортогональности
(40)
получаем:
,
(82)
После переобозначения
получаем функцию (80).
Далее находим норму (см (38)):
,
(83)
Таким образом,
(84)
При этом производная равна
(85)
Подставляя их в выражение второй вариации (36) получаем:
,
то есть
(86)
откуда следует оценка вида:
,
, (87)
где число
–точная оценка, а число
(88)
соответствует выбранной нами
функции
,
то есть
. (89)
Данная оценка завышена по
построению, поскольку функция
не является экстремалью. Сравнение с
точной оценкой показывает удивительно
большую точность приближенного метода:
расхождение составляет всего
, (90)
то есть 4%.
Полученная здесь оценка
получается проще чем точная, безо всякого
«узнавания» в нашей задаче классического
безотражательного потенциала уравнения
Шредингера и использования его решений,
не имеющих простого (в контексте нашей
задачи) физического смысла. Следует
отметить, что функция
четная, поэтому она даст решение как
задачи (40) так и задачи (69), то есть данная
функция не содержит в себе «сдвига
исходного солитона как целого», и
является поэтому возмущением не только
относительно исходного солитона, но и
относительно всего класса солитонов.
4. Выводы
Была доказана устойчивость
НУШ-солитона вторым методом Ляпунова.
Для этого были найдены интегралы энергии
и импульса
из тензора энергии и импульса и интеграл
«массы» (числа квантов)
.
Было найдено минимальное значение
энергии
при заданном интеграле числа квантов
и на основе этого построен функционал
Ляпунова
.
Действительно, при условии
по построению функционал обращается в
ноль на солитоне
,
имеет нулевую первую вариацию
и положительную вторую вариацию
.
Поскольку функционал Ляпунова
сконструирован из интегралов движения,
то он неизменен во времени
,
что доказывает устойчивость солитонов.
Вторую вариацию функционала Ляпунова можно оценить через норму возмущения. Введем обозначения:
,
,
,
.
Для чисто действительного
четного возмущения
(то есть синфазного с невозмущенной
функцией) получена точная оценка вида
,
где
,
которая достигается на функции
.
Данная функция построена с помощью
производной по частоте от солитонного
решения и точного решения уравнения
Шредингера. Следует заметить, что с
помощью физически более простого
построения можно получить приближенную
оценку
,
которая достигается на функции
.
Важно, что эта функция также четная.
Функция построена с помощью производной
по частоте от солитонного решения и
самого солитона. Приближенная оценка
выше точной всего на 4%.
Нечетные возмущения мы считаем нефизичными, поскольку они сдвигают солитон, а нас фактически интересует возмущение относительно всего класса солитонов, а не исходного солитона.
Для чисто мнимого возмущения
явно показано, что либо вторая вариация
положительна (и первая вариация нулевая),
либо первые три вариации нулевые и
четвертая вариация положительна, так
что второй метод Ляпунова применим.
Однако случай обращения в ноль второй
вариации соответствует изменению фазы
солитона, а не его возмущению, то есть
соответствующее «возмущение» не выводит
нас из класса солитонов. Поэтому разумно
исключить такие возмущения и рассматривать
далее чисто действительные возмущения.
В принципе, мнимые возмущения можно не
исключать и сказать что физически
разумное возмущение имеет переменное
во времени фазовое соотношение с исходным
солитоном, поэтому в среднем по достаточно
большому интервалу времени можно оценить
.
Тогда:
,
или
Однако более физично рассматривать только четные синфазные возмущения, которые действительно соответствуют возмущению относительно класса солитонов, и записать ответ для оценки функционала Ляпунова в окрестности неподвижного солитона в виде:
или
.