Практическое занятие 4. Полная вероятность
Все события, которые возможны в системе называются полной системой событий. Сумма вероятности полной системы событий = 1.
Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий А1, А2, ..., Аn, образующих полную систему событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула, полной вероятности:
где
P(Ai) - вероятность события Аi;
P(B/Ai) - условная вероятность события В.
Пример решения задачи
На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго — 6 и от третьего — 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7.
Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока?
Решение. Обозначим через А1, А2, А3 события установки на автомашину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором или третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:
Р(А1) = 0,5; Р(А2) = 0,3; Р(А3) = 0,2.
Вероятность безотказной работы двигателя В при условиях А1, А2, А3, соответственно, равна: Р(В/А1)=0,9; Р(В/А2)=0,8; Р(В/А3)=0,7.
Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:
P(B) = P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)=
= 0,5 • 0,9 + 0,3 • 0,8 + 0,2 • 0.7 = 0,83.
Варианты к пз 4.
1. На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в среднем 10 нестандартных, на втором – 15, а на третьем – 20. Продукция этих заводов составляет соответственно 50; 30 и 20% всех электролампочек, приобретаемых жителями района.
-
Найти вероятность того, что приобретенная лампочка будет стандартной.
2. Всхожесть семян свеклы первой партии 90%, второй партии – 80%. Перед посевом смешали 2 ц семян 1-ой партии и 3 ц семян 2-ой партии.
-
Какова будет вероятность всхода, если наугад посадили одно семя?
3. На фабрике на машинах A, B, C производят соответственно 25; 35 и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 15; 10 и 5%.
-
Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется дефектным.
4. На спартакиаду прибыло 20 лыжников, 15 гимнастов и 5 шахматистов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,8; для гимнаста – 0,6; для шахматиста – 0,9. Случайно вызывается один спортсмен.
-
Какова вероятность того, что он выполнит норму?
5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй – 2%, а третий – 4%.
-
Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.
6. Три оператора радиолокационной установки производят соответственно 25; 30 и 40% всех измерений, допуская 5, 4 и 3% ошибок.
-
Найти вероятность того, что случайно проверенное измерение окажется ошибочным.
7. На ферме содержатся 40% коров костромской породы и 60% башкирской. В районе эпидемия ящура. Вероятность заболеть ящуром у коров костромской породы 0,6; у коров башкирской породы – 0,7. Для обследования случайным образом взята одна корова.
-
Найти вероятность того, что она больна ящуром.
8. В засуху растение погибает с вероятностью 0,9. Без засухи выживаемость растения составляет 95%. Вероятность засухи в году данной местности 0,2.
-
Найти вероятность выживания растения в данном году.
9. Имеется два мешка семян одной культуры первой партии, всхожестью 90% и один мешок той же культуры второй партии, всхожестью 85%. Наугад взяли мешок и посадили одно зерно.
-
Какова вероятность того, что оно взойдет?
10. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Из ящика наудачу взята одна деталь.
-
Какова вероятность того, что деталь будет бракованной?