3. Размытые системы, автоматы

Система 8 с входом хН\. выходом уЦ\ и состоянием а(Ъ\ называется я^ттпп системой если хотя 6Ы одна ИЗ ЭТИХ вял^пт м^^яртр.я п^аа-1том^множестве13]. Например, если вход в момент ( определяется как ^значительно превосходящий величину 5», то этот вход представляет собой |азмытое множество, а система с такими нечетко определенными входами Авляется размытой системой. Дисктютная размытая система может быть ©писана уравнениями

одо^ хИ\. выходом иа) и состоянием а(1\ называется [если хотя 6Ы ОЯИЯ ття атят вял^пт мамр^ртр.я пя лаа-[Д]. .Например, если вход в момент ( определяется как

(3.1) ^=/(^,^), у^^д^х').

& Каждое размытое множество характеризуется скалярной функцией ринадлежности, поэтому значения одной или более переменных х, у •в. ^ (выражениях (3.1) являются функционалами, а не просто точками неко-орых многомерных пространств. Отсюда вытекают^трудности ясследова-'"ялвйШШШШШХвК ('г® ^же» ^что и для стохастических систем, характе-зующихся функцией распределения вероятностей), связанные с тем. что ддр^отп^ чт^а тгвт а^фйктидныу в^тпслитмгмых метопов, при помо-I которых уравнения в функционалах типа (3.1) можно было бы запи-ать_в_ддде_пвограмм для ЭВМ.

^—Понятие размытого класса систем отлично от класса собственно размы-ых систем. Примером размытого класса систем может служить класс ристем, «близких к линейным», или класс адаптивных систем.

В случае, если система задается множеством вход-выходных пар в про-гранстве XX V, то функция принадлежности (а® системы 8 размытому лассу Ј4- может ассоциировать каждой вход-выходной паре определенную тепень принадлежности в интервале [0,1]. Таким образом, класс ^ будет змытым классом в пространстве Х Х Т. При этом функция принадлеж-сти для всего пространства дар определяется субъективно на основании ;еющейся информации о значениях этой функции для некоторого конеч-вго числа вход-выходных пар, подобно тому, как это имеет место при иассификации изображений.

В случае же, когда система определяется уравнениями (3.1), каждое з этих уравнений может быть индексировано некоторым параметром ел» изменяющимся в интервале [0,'»]. При этом размытый класс ^ си-ем характеризуется как размытое множество А в пространстве парамет-, ^, причем степень принадлежности системы с индексом Х классу «я^ дается степенью принадлежности Ид(Х) числа К множеству А.

Задача синтеза системы (4.1) по вход-выходным параметрам, представ­ляющая значительные трудности для обычных неразмытых систем, для размытых систем является исключительно трудной и пока совершенно не;

исследована.

В работе [9] рассматриваются дискретные системы для случаев размы­тых множеств входов Х и выходов У. Выписываются алгоритмы перера­ботки неразмытого множества Х в размытое множество У для случаев

систем без памяти и систем с памятью.

В работах [20, 21, 23] обобщается понятие конечного автомата—вво­дится понятие размытого конечного автомата.

Размытый конечный автомат в общем случае может быть представлен

в виде системы*

^3.2) Д=<Х,У,9,^,^>,

где Х = {д;1, а:а,..., Жт} — входы, У = {у», г/а,..., у} — выходы, (? == = {^^, да,..., 9г} — состояния, (а/ — размытая функция переходов, отобра­жающая пространство <?Х()ХХ в интервал [0,1], ^я—размытая функ­ция выхода, отображающая пространство У Х (? Х Х в интервале [0,1], т. е.:

^:(?Х(?ХХ-[0,1],

(3.3)

ц,:УХ(?ХХ-[0,1].

Если р,/ для некоторой триады (д<, с[„х,,) равна единице, то это озна-

(+1 , , * <,, " ' " ^

чает, что переход д< =° 7 (9ч •^:1;'') всегда имеет место: если же ц; для это»

триады равна нулю, то такой переход невозможен.

Если же |а/ == б (0 < б < 1), то принимается, что переход осуществляет­ся со степенью принадлежности 6. Введение пороговых значений а > ^ О < а, ^ < 1 таких, что переход реализуется, если р., (д», ^^ х„} > а, неосу­ществим, если \^^(^^, ^), Хь) ^ ^, и не определен, если ^ < ^ < а, сводит аппарат теории размытых множеств к аппарату многозначных (в данном

случае трехзначных) функций.

Как и обычный автомат, размытый автомат характеризуется матрицами

переходов С (ж») == Ц (с„)„Ц = II ц/(д., ^^ Жь) Ц для /с = 1,2,..., т или же таб­лицей переходов (см. таблицу).

^."к	Ж1	х<	• * •	"т
«I -^. 9х Чг	С(»1)	сы	• • •	С («т)

I__;___._______

Обобщенная размытая функция перехода цл определенная на входной

ленте длины п, (3.4) ^•.<?Х(?ХХХХХ...ХХ-^ [0,1]

может быть получена при помощи одного из выражений (1.11), (1.12),

определяющих композицию отношений.

В работах [21, 50, 22, 41] изучается связь между размытыми автома­тами и событиями. Размытым событием над конечным алфавитом Х назы­вается отображение X* -»- [0,1] **, т. е., иначе, размытый язык I- над X.

При рассмотрении представления событий в размытом конечном авто­мате пользуются несколько иной формой записи размытого автомата, вводя

* Другая форма записи конечного автомата приводится ниже.

** Напомним, что в случае «неразмытого» события имеется в виду отображение;

Х-^[0,1]. , ^;

76 -

множества начальных и финальных состояний. Размытый автомат А за­дается тогда в виде системы

(3.5) А=<(?,Х,я,{С.(^)|^еХ},п>. ;

Здесь () — множество состояний, Х = {х^ а;г,..., Хт} — входной алфа­вит, л — вектор-строка ||я1, Лг,..., Яп||, где Яг обозначает степень принад­лежности состояния ^^ множеству начальных состояний, т) — индикатор фи­нального состояния — вектор-столбец

причем Г1г = 1, если состояние ^^ принадлежит подмножеству выделенных .финальных состояний, и т]г = О в противоположном случае; [С (%) | Жд е= . ^1е= Х}ь=.1, г,..., т — множество матриц переходов, которое записывается обыч-

-но в виде таблицы переходов (см. таблицу). ^

По аналогии с произведением отношений (см. выражения (2.11) и (2.12)) произведение матриц С' и С" размытого автомата выражается в общем виде следующим образом:

• с,^ = шах шш(сй, Су).

А . .

Если С(х1) — матрица переходов при входе х^, С(хг) — матрица перехо­дов при входе -Га, то С (3:1) °С{хг) —матрица переходов при входном воз­действии Х^Х-г. ДЛИНЫ 2.

В силу транзитивности операции ° для входного слова ^ = ж¹.»²... ж" может быть составлена обобщенная матрица переходов С(|) =С(х¹) ° ⁰ С(х²) °... ° С(х"), элементом сц(^), которой является степень принадлеж­ности перехода автомата А из состояния ^^ в состояние ^^ под воздействием входной последовательности ^. Из способа построения матрицы С(^) сле­дует, что степень принадлежности перехода из ^^ в д, под воздействием 1 == х^х¹... ж" определяется следующим образом: в каждом пути из ^^ в д, через некоторые промежуточные состояния выбирается участок, степень принадлежности которого минимальна, и эта степень принадлежности и

-определяет степень принадлежности всего пути. Затем из всех возможных .путей из ^^ в ^] выбирается тот, степень принадлежности которого макси­мальна. Степень принадлежности \Лл СЮ цепочки ^ ^ X", ведущей из на­чального в финальное состояние, определяется следующим образом:

(3.7) МЮ-лоСЩо^.

Рассматриваемый так размытый автомат А ставит в соответствие каж­дой входной цепочке ^ е X* степень принадлежности Цл(Ю» ^т- е. автома­том А порождается некоторый размытый язык над алфавитом X, обозна­чаемый Ь(А, °). В [21] доказывается, что класс таких языков замкнут от-

яосительно операций объединения и пересечения: Что касается дополнения, то этот класс оказывается замкнутым, если наряду с пессимистическими

-автоматами включить в класс также и оптимистические автоматы (см. раз-.дел 1), т. е. дополнение класса языков, порождаемых пессимистическими .конечными автоматами, порождается соответствующими оптимистическими автоматами (и наоборот). Точнее, для каждого языка А(А,°), порожден-лого пессимистическим автоматом А, существует оптимистический авто-.мат А, порождающий дополнение Ь (и наоборот).

В [21, 22, 41] рассматривается также представление событий с порогом

\ в размытом автомате А. Событием, представимым с порогом ^, называет­ся множество •

(3.8) Ь(Д, °, К) = 0| М1) > ^, ^ ^е= ^}.

Как пороговое множество (см. раздел 1), это множество уже не размы­тое. Относительно 1»(4,°)^) доказываются следующие утверждения:

1. Всякий язык !((а,°,х) есть язык типа 3.

2. Порог К несуществен в том смысле, что если множество Ь (А, •Д)' представлено с порогом К в автомате А, то для любого К' =^ К, К' > 0 суще­ствует автомат А' такой, Что Ь(А, °, К} = И,А', °, К').

Кроме этих результатов, относящихся к размытым конечным автома⁴-там, в [22, 50, 51] получены некоторые результаты, аналогичные оценкам;

Мура (об оценках см., например, [47]) длины экспериментов, диагности­рующих состояние автомата, и некоторые результаты, относящиеся к экви­валентности и минимизации числа состояний размытого автомата.