2. Размытые языки, грамматики, алгоритмы

В последние годы большое развитие получила общая теория формаль-|иых языков и грамматик как средство, описания искусственных машинных Цязыков программирования, а также в связи с изучением структуры есте-Цсгвенных языков. В связи с тем, что по теории формальных языков и грам-Циатик был опубликован ряд обзорных работ (см., например, [33, 34]), |< настоящем обзоре предполагается, что с основными понятиями и пробле-|<иатикой в этой области читатель знаком.

| Известно, что математическая точность формальных языков сильно от-Цяичается от неточности, нечеткости естественных языков. Чтобы умень-рпить разрыв между ними, естественно ввести в структуру формальных |яаыаков случайность (стохастические языки) либо размытость. Исследова-|йию языков, грамматик, алгоритмов на основе теории размытых—вножеств \посвящены работы [4,7,40,13,ЛВ, 28, 35-41 ].

, В работе [36] размытый-язык Ь пттпедйляатдя как множество дедочек^ В_ад конечным алфавитом Ут, каждой из'которых приписана стедянь ттто^ рйддежности у1ь(х), т. е. ь ==\\х. и.1.[х])}, х е Ут'. Уазмытый языкЬ яв-ается^ТйД^ЙЫМ сЯуЧ&йЦ 1г1змытого множества! и, следовательно^ к размы-дм языкам^ можно дрименить любую из операций над размытыми множе-'' ами1 тГ^е. можно рассматривать йоъедиаение, пересечение, дополнение ЙЯх языков и т. и. Кроме того, вводятся специальные операшю, ана-

логичные операциям произведения (конкатенации) и итерации для нераз­мытых языков.

Произведение 8 = Ь^г двух размытых языков ^^ \ и Ьг определяется

следующим образом:

(2.1) 8=={(х,^(х))}, где х = иу, и е Ь^ у «= Ь^ а Ць^, (ж) =

=шахтт(|Аы(г»), Иы(¹⁷))-

Таким образом, в отличие от алгебраического произведения множеств, где функция принадлежности определяется как произведение функций принадлежностей сомножителей (см. (1.8)), для произведения языков используетсягг.пйттиДшттйская тгля теории р^^ту ^пятг-вр тг птнлтпр.итг

операция тахтш. Содержательно она означает следующее: нужно про­смотреть все варианты порождения слова х как результата приписывания — ^--—._ .. „ „„„^^.„ „ „т,д тгатттлгл ряТ^^Т^Г^ДТРат^минимальную из

эта минимальная величина максимальна^

Итерация ьопределяетсяпоаналогии с итерацией для неразмытых

языков

V = ь и ьь и ыа и....

(2.2)

Как известно (см., например, [42]), для обычных формальных языков решением уравнения

(2.3) Ь == АЬ и В,

где А -а В — некоторые заданные языки, а Ь — искомый язык, является язык Ь=А'В. В [10] этот результат обобщается для размытых языков;

показано, что решение уравнения (2.3) имеет тот же вид Ь == А'В, где А и В — уже заданные размытые языки, а итерация и произведение опреде­ляются выражениями (2.1) и (2.2).

В работах [36, 37] вводятся понятия размытых грамматик^ порождаю-

--—— И-"———»., ^.^„„гп.тгоп I, пттгттавту.Я ПТ ППЫЧНОЙ (не-

ли^х

атики тем. что,

(рорме ц\е

пень принадлежности может быть записана в

ре [0.1] или. более кратко. «-" &.

степень принадлежности цепочки х, порожденной грамматикой <?, определяется следующим образом. Пусть 8 -»- 011 -»-...-»- (Хп -^ х есть вы­вод цепочки х (см. [34]). В соответствии с тем, какое из правил применя­лось на каждом из шагов вывода, над каждой из стрелок может быть написана соответствующая степень принадлежности р,

Р1 vi рп ^"+1 ^/

(2.4) б'—-»].-^-... —>ап—-^х.

ода выбирается минимальной аттахтйттид ^гй-гем из величин п.. выЯирайтся мяксимальная

В

кности

до всем~выводам ^.т._д^--ц^1-^А^^а^^=^з^1йдь.^*»—-ь--^_-^-1^• —-^-., -- -и принимается за степеньпри5^^ежности ц*Т5Уцепочки а:" языку ^ (Сг) у

дорожденному размытои^рамматякои^Г^^^^™^" ———*| _ РазмыТаЛ грамматика Сг называется рекурсивной, если имеется эффек» тивная процедура, позволяющая вычислить (ао (.с) для любого х е Т/(О). • Размытая грамматика' О называется размытой грамматикой типа •» (г == 0,1, 2, 3 по классификации Хомского, см. [33, 34]), если соответст­вующая ей неразмытая грамматика является грамматикой типа г. В [36, 37)*

72 " ,

доказано, что размытые языки, порождаемые размытыми грамматиками типов 1, 2 и 3, рекурсивны.

Известно (см. [33, 34]), что любая грамматика типа 2 может быть приведена к нормальным формам. В [36] эти результаты обобщаются для размытых грамматик.

Очевидным следствием соотношения (1.13) является соотношение

где О), обозначает неразмытую уровневую грамматику того же типа, что и-грамматика О.

В [10] показано, что размытый язык Ь{С) можно разложить но фор­муле декомпозиции

(2.6) т.((;)==и^(^),

\

где Ь{Сг) обозначает язык, генерируемый грамматикой (?, а О и С,. — соот­ветственно размытая и неразмытая уровневая грамматики одного и того же типа.

В [18, 28, 43] рассматривается некоторый класс грамматик, назваэ-ный классом псевдограмматик. В псевдограмматике каждому правилу ста­вится в соответствие положительное число \л^[0,1/}, называемое весом этого правила. Цепочке вывода соответствует тогда последовательность ве­сов. Принимая различные варианты определения весов каждого из правил и различные способы вычисления веса конечной терминальной цепочки по-последовательности весов, соответствующей выводу, авторы строят различ­ные типы грамматик, в том числе стохастические, ^-размытые грамматики. различных видов и т. д.

В [7, 10] вводятся размытые предикаты и при помощи рассмотрения:

размытого языка как размытого отношения делается попытка построения количественной размытой семантики, т. е. количественного определения такого по своей сути размытого понятия, как «значение» слова.

Понятие размытого алгоритма (см. [4]) является обобщением понятия алгоритма на случай, когда алгоритм включает нечеткие размытые ин­струкции, т. е. инструкции, в формулировке которых содержатся нечеткие указания.

Например, размытые алгоритмы могут включать инструкции типа:

а) установить х примерно равным 10;

б) если х велико, увеличить у на несколько единиц;

в) выбрать х в интервале [9,9—10,1], если у в интервале [4,9—5,1];

г) передвинуться на несколько шагов вперед.

Выделенные курсивом слова инструкций и представляют собой нечет­кие указания.

При помощи аппарата теории размытых множеств Р^{азмыIздм}инструк-цияммрн{е1_6Ы'1^ ЦрЯдЯнаТочнаяматем^ГтйчеСТГая фо^ма, хотй''^'5е^дий?-ствашыж^^Ызом,,ас^испрдьзованием субъективн^.оценд^^ в инструкции типа «г» слову «несколько» можно поставить в соответствие-' размытое множество А, для которого может быть выбрана функция при­надлежности цд, принимающая значения (см. [4]):

(1л(0)=М1)=М2)=ИА(3) =0, ^(5) =^(6) =ЦА(7) =1, ^(8) =0,7, ^{х) =0 при х 5?9.

^(У)=0,7,

Понятие размытого'алгоритма может быть использовано также и в тех случаях, когда сложность ситуации исключает на практике возможность выполнения четких «неразмытых» инструкций и достижения точно опре-

деленной цели и приводит к необходимости замены их'размытыми инструк­циями и размытыми локальными целями (например, при игре в шахматы и т. п.). При этом следует отметить, что обращение к размытым инструк­циям отличается от^детодов эвристического программирования. Эвристиче­ская программа является одной из возможных аппроксимаций размытой инструкции, но сформулирована она без привлечения размытых понятий, так как она передается на ЭВМ, которые (в отличие от людей) в настоя­щее время еще не могут оперировать размытыми понятиями *.

В отличие от обычного алгоритма, который однозначно ведет от исход­ных данных к результату, размытый алгоритм, как это чувствуется интуи­тивно, должен вести от исходных данных к некоторому множеству реше­ний, каждое из которых имеет определенную степень принадлежности. Поэтому в работах по размытым алгоритмам нет доказательств сходимо­сти и утверждается даже, что для теории размытых множеств Такая поста­новка вопроса не имеет смысла по существу **.

В [13] изучается одна из таких конструкций—размытый марковский алгоритм. Если обычный марковский алгоритм есть функция из X* в X*, где как обычно, X" обозначает множество всех слов, составленных из букв -алфавита X, то размытый марковский алгоритм может быть рассмотрен как удовлетворяющая определенным условиям функция из X* в Р(Х"), где Р"(Х*) — множество всех размытых подмйожеств X". Если продукции обыч­ного марковского алгоритма (см. [45]) имеют вид а-*-р, то продукции размытого марковского алгоритма имеют вид а -*• Ь, где Ь — некоторое раз­мытое множество.

Например,

«значительно превосход! размытое множество, а ( является размытой сисч описана уравнениями

(3.1) ^ =/(?', ж')

Каждое размытое I Принадлежности, поэтом &в выражениях (3.1) явл |^торых многомерных про »-— ра^тт»^ пу,^» (•

Цуизующихся функцией р

^рп ДГ""⁰"™ ^"Т Ш Г $дци которых уравнения ] гсать в вида программ д и Понятие размытого к ^тых систем. Примером ] цгистем, «близких к линей | В случае, если систем ?©Транстае XX У, то фуя ТЬдассу ^ может ассоции Йтепень принадлежности размытым классом в про |еети для всего прострав ''Эвеющейся информации @го числа вход-выходнь дасснфикации изображу ' В случае же, когда с

этих уравнений моя ^я Л» изменяющимся в и |вм характеризуется ка1

,\ причем степень прэ ВЕвется степенью прина;

ааЪ,

0,6

0,3. 0,8

аса,, ЬЬ,

ас-

есть продукция размытого марковского алгоритма. Здесь вхождение ас заменяется на ааЪ со степенью принадлежности 0,6, на аса со степенью принадлежности 0,3, на ЬЬ со степенью принадлежности 0,8; точка озна­чает, что подстановка является заключительной.

В [13] предложен способ применения размытых продукций, в резуль­тате чего при применении размытого марковского алгоритма к заданному слову получается некоторое размытое множество слов (размытый язык).

Так же как обычному неразмздтому алгоритму может быть поставлена в соответствие машина Тьюринга, так и размытому алгоритму может быть доставлена в соответствие размытая машина Тьюринга ***. »

Размытая машина Тьюринга представляет собой систему

(2.9) Т = <0, X, ^>,

где 0 == {д», ?1,..., От} — множество состояний, Х ^ {ху, ж»,..., Хга} — входы и р,р : 0 Х 0 Х Х -*• [0,1] — функция принадлежности, заданная на множестве 0 Х О Х X, ассоциирующая каждой триаде (д"⁴'¹, д", ж") сте­пень принадлежности размытому множеству переходов Р.

* Понятие размытого алгоритма близко к понятию недетерминированного алго­ритма, приведенному в работе [44], где под недетерминированным аргоритмом по­нимается способ формализации систематических процедур принятия решений в ус-, ловиях, когда эти процедуры определяются не эффективно, а в зависимости от тех

результатов, к которым они могут привести.

** Цитируем [13] (стр. 12): «Будет ли алгоритм работать? Достаточно ли хоро­шо? — основное свойство размытых алгоритмов состоит в том, что на вопросы подоб­ного рода нет точного ответа. Нужно довольствоваться ответом типа: алгоритм будет работать достаточно хорошо, пока степень размытости наблюдения достаточно мала и инструкции выполняются в соответствии с ожиданиями экспериментатора. Нет • нужды говорить, что такие гибкие утветиудвиия недопустимы для тех, кто ожидает, чтобы свойства сходимости алгоритма были выражены в виде доказуемой теоремы».

*** При этом имеются в виду те ситуации, при которых переменные, входящие в

ялторитм, изменяются аа счетных множествах. ;

\'

74

&.г - ., ,

•вив-"'- • • • • -

а&^&ЕйА&а ^..•^'.-ы^а-а^

В работе [46] доказывается следующее утверждение: для любого раз-Циьстого нормального алгоритма Маркова из того факта, что начальное сло-|во 1;о е X' перерабатывается этим алгоритмом в размытое множество фи­нальных слов Ьф, следует существование размытой машины Тьюринга, Перерабатывающей это слово ^о в то же множество 1ц^. Верно и обратное "утверждение.

1 Таким образом, имеет место обобщение для размытых множеств того |<?оотношения между классом нормальных алгоритмов и классом машин |Тьюринга, которое имеет место в обычном случае (см., например, [47]). [Пока нет никаких результатов, относящихся к каким-либо общим свойст­вам размытых алгоритмов и размытых машин Тьюринга. ^ В работах [35, 40] рассматриваются размытые программы и устанав­ливается выполнимость размытых программ с использованием машин с ко-даечным числом состояний. •

В работах [48] автор использует теорию размытых алгоритмов для по­строения размытой иерархии рекурсивных функций, которая позволяет ртавить в соответствие нерекурсивным функциям-некоторые классы рекур-Цвивных функций с определенной степенью размытости.