-
Анализ ближайшего соседа
До сих пор мы описывали точечные распределения количеством точек в пределах подобластей. Другими словами, мы рассматривали распределение точек посредством сравнения областей, которые они занимают. Также поучительно рассмотреть локальные отношения внутри пар точек. Чаще всего это делается другим методом анализа точечных распределений – анализом ближайшего соседа, общепринятой процедурой определения расстояния от каждой точки до ее ближайшего соседа (РБС) и сравнения этой величины со средним расстоянием между соседями. Вычисление этого статистического показателя включает определение среднего РБС среди всех возможных пар близлежащих точек (такие точки определяются как ближайшие к выбранной точке).
Среднее РБС дает меру разреженности точек в распределении. Это ценно само по себе, так как в некоторых случаях точечные объекты могут конфликтовать, если они расположены слишком близко друг к другу. Например, мы знаем, что многим животным требуется определенное жизненное пространство, и когда оно перекрывается с пространством другого представителя того же вида, возможен конфликт.
Но, как и в анализе квадратов, мы можем сравнить среднее РБС с тремя возможными распределениями – регулярным, случайным и кластерным. В общем, этот метод может быть описан для каждого из этих случаев как вычисление индекса, с которым вы можете сравнить свои результаты. Для индекса случайного распределения поделите 1 на удвоенный квадратный корень из плотности точек (число точек на единицу площади). Если вам нужен критерий максимальной рассеянности (регулярное распределение), то поделите 1.07453 на квадратный корень из плотности точек. Наконец, для критерия максимальной сгруппированности, когда точки расположены одна под другой, мы можем просто принять, что величина получается делением на ноль. В результате мы получаем некоторое неотрицательное значение индекса. Простое сравнение вашего среднего РБС с тремя индексами даст вам понятие о том, в каком месте диапазона они находятся.
Давайте рассмотрим,
как это работает на примере данных
таблицы 1.3. У нас есть шесть точек, данных
в пределах площади в 25 квадратных единиц.
Среднее РБС этих данных составляет
примерно 1.4. Для случайным образом
распределенных данных индекс составит
(единица, поделенная на удвоенный корень
из плотности точек (6 точек на 25 единиц
площади = 0.24), т.е.
=
1.02. Наше среднее РБС несколько больше,
чем этот индекс.
Критерий максимальной рассеянности точек составит 1.07453, деленное на квадратный корень из плотности точек, т.е. округленно 2.19. Таково было бы значение, если бы наше распределение точек было идеально равномерным. Наше среднее РБС намного меньше этого, но и намного больше, чем 0, который соответствует идеально сгруппированному распределению. Таким образом, мы нашли, что наше распределение несколько более рассеянное, чем случайное, т.е. где-то между истинно равномерным и случайным распределениями. Другими словами, оно начинает принимать более регулярную конфигурацию, но пока все еще довольно случайное.
Таблица 1.3 ‑ Вычисление расстояния до ближайшего соседа
|
Точка |
Координаты |
Ближайший сосед |
РБС |
|
|
X |
Y |
|||
|
A |
0.7 |
1.0 |
B |
1.6 |
|
B |
1.25 |
3.0 |
C |
1.4 |
|
C |
2.5 |
3.7 |
D |
1.3 |
|
D |
3.3 |
2.75 |
C |
1.3 |
|
E |
4.0 |
4.0 |
C |
1.34 |
|
F |
3.8 |
1.0 |
D |
1.5 |
|
Среднее РБС |
1.4 |
|||
|
Случайное среднее РБС |
1.02 |
|||
РБС является абсолютным статистическим показателем, следовательно, он не может непосредственно сравниваться с РБС других точечных распределений. Индекс ближайшего соседства может быть нормализован для выполнения таких сравнений. Существуют также и другие методы определения кластеризации, основанные на других статистических показателях.