2. Распределения точек

Возможно, наиболее распространенные методы анализа пространственных распределений применяются к точечным паттернам. Точечными объектами могут быть отдельные деревья, дома, животные, фонари и даже города, в зависимости от масштаба. Точечные объекты могут также представляться в виде линий и областей.

Простейшей мерой точечного распределения является плотность (density) точек. Она определяется как результат деления числа точек на общую площадь, на которой они расположены. Плотности населения, застройки, деревьев и т.д. широко используются как меры компактности точек. Сравнивая плотности подобных объектов в разных областях, можно сравнивать механизмы, которые действуют в этих областях. Или можно сравнивать точки в том же месте, но в разные моменты времени, чтобы увидеть изменения плотности во времени. Например, плотность населения в городской местности со временем растёт, или растёт плотность застройки, или плотность деревьев снижается по мере их развития и роста конкуренции за пространство и солнечный свет. Даже этот простой статистический показатель, легко вычисляемый на растре и векторах, может дать множество полезных идей об используемых данных.

Помимо общей плотности распределения, нас может интересовать еще и его форма. Точечные паттерны встречаются в одном из четырех возможных вариантов, характеристик. Распределение является равномерным, если число точек на единицу площади в каждой малой подобласти такое же, как и в любой другой подобласти. Если точки расположены в узлах сетки, разделенные одинаковыми интервалами по всей области, то равномерное распределение называется регулярным, подобно рассмотренной ранее регулярной сетке отбора точек данных на поверхности. В других случаях равномерно распределенные точки располагаются в случайном порядке по всей рассматриваемой области.

Бывают случаи, когда точки собраны в тесные группы, такое распределение называется сгруппированным или кластерным.

1. Анализ квадратов

Равномерные точечные распределения определяются на основе отношений между одинаковыми подобластями, называемыми квадратами. Это очень распространенный метод анализа дискретных данных. Точками здесь могут быть отдельные растения, муравейники и т.д. Если каждый квадрат содержит примерно одинаковое число точек, то распределение является равномерным. Равномерные распределения редко встречаются среди биологических явлений, так как живым организмам свойственно мигрировать в сторону большей концентрации питательных веществ, лучшего орошения, определенного типа почвы и т.д. Если распределение действительно равномерное, то мы можем предположить, что нет существенного механизма, управляющего расположением объектов.

В стандартном методе анализа квадратов для равномерного распределения мы предполагаем, что примерно одно и то же число объектов будет находиться в каждой подобласти, равное общему числу объектов, поделённому на количество подобластей. Для проверки равномерности распределения может использоваться относительно простой статистический показатель, который называется критерием χ² (хи-квадрат) и выражается формулой:

(1.8)

где Q – наблюдаемое число точек в квадрате, Е – ожидаемое число точек в квадрате; суммирование проводится по всем квадратам.

Результат этого вычисления может быть сравнен с табулированными критическими величинами. Если полученное число незначительно отличается от ожидаемого, то распределение является равномерным; заметное отличие говорит о некоторой неравномерности, что может означать наличие какого-то процесса, лежащего в основе неравномерности. Хотя этот метод может считаться чисто статистическим, он может быть реализован в некоторых ГИС, особенно в растровых. Такой анализ могут выполнять и многие специализированные программы. Чем больше значение χ², тем ниже равномерность распределения.

Хотя результатом анализа в ГИС обычно считается карта, в данном случае результатом является одно лишь число. Здесь уместен такой вопрос: "Если распределение не равномерно, то какой механизм может быть ответственен за это?"

Чаще всего наблюдаемые нами точечные паттерны связаны с другими показателями (покрытиями) карты той же области исследования. Эти возможно связанные покрытия могут быть не только точечными, но и площадными. В нашем примере с биологией это могли бы быть параметры почв. Это приведет нас к сравнению точек одного покрытия с полигонами другого, о чем будет сказано позже.

Помимо информации о равномерном распределении анализ квадратов может дать кое-что ещё. Например, отношение дисперсии к среднему (математическому ожиданию) (VMR). Здесь также используется критерий χ², который вычисляется как произведение отношения дисперсии к среднему на число подобластей за вычетом одной. Высокие значения χ² указывают на большой разброс между числом точек в каждой области и средним для всей области, то есть на то, что мы имеем кластерное (групповое) распределение. И наоборот, малые значения χ² означают, что распределение более равномерное. Промежуточные значения указывают на то, что распределение более тесно связано с некоторым случайным процессом, где некоторые квадраты имеют несколько большее, а другие – несколько меньшее число, чем среднее.

Как и раньше, результаты анализа говорят, что если распределение не является статистически случайным (т.е. если оно либо равномерное, либо кластерное), то вы можете попытаться определить возможную причину, разумно выбрав набор показателей для сравнения с вашим точечным покрытием. Например, равномерные распределения могут быть регулярными, как плодовые деревья в саду, или случайными, что более свойственно деревьям в лесу. В первом случае в каждой подобласти будет встречаться одинаковое число точек, во втором случае числа будут разными.