§ 3. Интегрирование рациональных дробей

Функция где – многочлены, называется рациональной дробью. Если , то дробь называется правильной, если – неправильной. Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, например:

.

Для интегрирования правильной дроби сначала ищут корни её знаменателя и представляют знаменатель в виде произведения множителей вида и где «а» – действительный корень знаменателя кратности «к», квадратному сомножителю соответствует пара комплексных корней кратности «l», т.к. . Далее дробь разлагается на простейшие дроби по следующему правилу:

1) всякому множителю в разложении соответствует в разложении сумма к штук простейших дробей вида:

.

2) всякому множителю соответствует сумма l простейших дробей вида:

.

Существует 4 типа простейших дробей, которые всегда интегрируются:

к=2,3…

– неопределённые коэффициенты, которые ищутся подбором из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях независимой переменной в исходной дроби и в разложении её на простейшие после приведения к общему знаменателю.

Примеры

1. .

.

Для отыскания коэффициентов А и В имеем условия: .

.

т.е. имеем систему:

2. .

т.к. то разложение данной рациональной дроби будет иметь вид:

следовательно, исходный интеграл сводится к виду:

.

§ 4. Интегрирование некоторых видов тригонометрических выражений

1. Интегралы вида вычисляются с помощью преобразования произведений под знаком интеграла в суммы по известным формулам тригонометрии:

.

Пример

.

2. К Интегралам вида (n, m – целые), если хотя бы одно из чисел n, m – положительное и нечётное, применяют метод отщепления: отщепляют одну степень от той функции, что присутствует в нечётной степени, и производят подведение её под знак дифференциала, при этом получается интеграл от кофункции.

Пример

.

Если хотя бы одно из чисел n, m – отрицательное нечётное, то применяют метод домножения: домножают числитель и знаменатель подынтегральной дроби на ту функцию, которая присутствует в нечётной степени.

Пример

.

Если оба числа n, m – положительные и чётные, тогда применяют метод понижения степени по формулам: .

Пример

.

3) К Интегралам вида (n – натуральное) можно применить метода отщепления: отщепляют или , а далее применяют тождество или соответственно, после чего проводят подведение под знак дифференциала по формулам .

Пример

.

Возможно также применение метода замены переменной: или .

Пример

.

4) Интегралы вида , R– рациональная функция.

Такие интегралы с помощью универсальной тригонометрической подстановки , сводятся к интегралам от рациональной дроби.

Пример

§ 5. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

Метод рационализации интегралов

Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов, сводятся к интегралам от рациональных дробей (рационализуются) с помощью замены , где k– общий знаменатель дробей . Аналогичным образом рационализуются интегралы вида (замена ) и интегралы вида (замена ).

Пример

–

получен интеграл от неправильной рациональной дроби; сведём её к сумме многочлена и правильной дроби делением «столбиком»:

.

Тригонометрические подстановки

Пусть R– рациональная функция своих аргументов.

Интеграл вычисляется с помощью подстановки .

Интеграл вычисляется с помощью подстановки .

Интеграл вычисляется с помощью подстановки .

Пример

.

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Интеграл выделением полного квадрата сводится к интегралам, рассмотренным в пункте «Тригонометрические подстановки»

Интеграл выделением полного квадрата сводится к табличному интегралу.

Пример

.