Глава 1. Функции и пределы § 1. Функции и их свойства

Переменная величина у называется функцией переменной величины х в области определения D, если каждому значению х из этой области соответствует одно определенное значение величины у.

.

Если то значение х₀ является нулем (корнем) функции. Функция называется четной, если для всякого х из области определения выполняется условие:

.

Например:

.

Функция называется нечетной, если для всякого х из области определения выполняется условие:

.

Например:

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Например:

Функция называется периодической, если существует такое число , что для всех из области определения выполняется условие:

.

Наименьшее возможное значение называется периодом функции.

Например, для

для

Функция называется возрастающей на интервале, если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции, и убывающей, если большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции.

Например:

Функцию можно задавать таблично, графически и аналитически.

Основными элементарными функциями являются: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

а) Степенная функция .

б) Показательная функция .

в) Логарифмическая функция .

г) Тригонометрические функции.

д) Обратные тригонометрические функции.

§ 2. Предел функции и его свойства

Число называется пределом функции при , если для всех значений , достаточно мало отличающихся от , соответствующие значения функции как угодно мало будут отличаться от числа :

Число называется пределом функции при , если для всех достаточно больших значений соответствующие значения функции как угодно мало будут отличаться от числа :

Функция является бесконечно большой при , если для всех значений х, достаточно мало отличающихся от х₀, соответствующие значения функции по абсолютной величине превосходят любое наперед заданное как угодно большое положительное число:

Функция является бесконечно большой при , если для всех достаточно больших значений х соответствующие значения функции по абсолютной величине превосходят любое наперед заданное как угодно большое положительное число:

.

Основные свойства пределов:

В частности,

Все перечисленные свойства справедливы и при

Еслито – бесконечно малая величина при (б.м.в.).

Если – бесконечно малые величины при то их отношение есть неопределенность вида при

Если , – бесконечно большие величины при , то их отношение есть неопределенность вида при

Примеры: