§ 4. Схема полного исследования функции
Для полного исследования функции необходимо найти:
1. Область определения функции.
2. Точки разрыва и вертикальные асимптоты.
3. Невертикальные асимптоты.
4. Точки пересечения графика функции с осями координат
5. Четность, нечетность функции.
6. Периодичность.
7. Интервалы монотонности, точки экстремума, экстремальные значения функции.
8. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика.
9. Построить график на основе проведенного исследования.
Пример
.
1)
.
2)
–
точка разрыва второго рода;
–
двухсторонняя
вертикальная асимптота.
3)
–
наклонная асимптота.
4)
–
точка пересечения с осями.
5)
–
функция общего вида.
6)
не периодична.
7)
–
стационарные точки
(критические точки первого рода)
– т. max;
– т. min;
.
8)
В
торая
производная определена на всей области
определения функции,
следовательно, критических точек второго
рода нет.
Точек перегиба
нет, так как функция не определена в
точке
9) Строим график функции.
Глава IV. Неопределенный интеграл § 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Основная таблица интегралов
Функция
называется первообразной
для функции
на интервале
,
если в любой точке этого интервала
имеет производную, равную
:
.
Лемма о
первообразных:
если
и
– две первообразные для
,
то
,
где
-константа
(const).
Совокупность всех
первообразных для функции
называется неопределённым
интегралом
от этой функции и обозначается
.
где
– любая первообразная для
.
Пример
.
График первообразной
называется интегральной
кривой функции
.
С геометрической точки зрения неопределённый интеграл – это совокупность бесконечного числа интегральных кривых, полученных параллельным сдвигом любой из них в направлении оси ординат.
Пример
Найти уравнение
кривой, проходящей через точку
,
если угловой коэффициент касательной
в любой её точке в два раза больше
абсциссы точки касания (
).
Решение.
тогда
.
Точка М0
лежит на кривой, поэтому
тогда
–
искомая кривая.
Основные свойства интеграла
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5) Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:
.
6) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Основная таблица интегралов
|
1.
2.
3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
|
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
§ 2. Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование.
Этот метод основывается на непосредственном применении таблицы интегралов.
Примеры
1)
2)
3)
4)
5)
6)
.
Метод разложения
Он основывается на разложении подынтегральной функции на слагаемые, которые легко интегрируются, и применении свойств 5-6 из § 1.
Примеры
1)
.
2)
Метод подведения под знак дифференциала
Теорема об инвариантности формул интегрирования
Вид формул
интегрирования не изменится, если
независимую переменную х
заменить любой дифференцируемой функцией
:
если
то
На этой теореме основывается метод подведения под знак дифференциала.
Примеры
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
Метод подстановки
Пусть
–
дифференцируемая функция, тогда
.
Пример
.
Интегрирование по частям
Пусть
–
дифференцируемые функции, тогда
справедлива формула интегрирования по
частям:
Если
– многочлен, то в интегралах вида
,
полагают
а
в интегралах вида
за «u»
берут трансцендентный сомножитель в
подынтегральной функции.
Примеры
1)
2)
.
Иногда для достижения результата формулу интегрирования по частям применяют два и более раз.