
- •Введение
- •Глава 1. Функции и пределы § 1. Функции и их свойства
- •§ 2. Предел функции и его свойства
- •§3. Замечательные пределы
- •§ 4. Бесконечно малые величины
- •§ 5. Непрерывность функций
- •Глава II. Дифференциальное исчисление § 1. Производная. Основные правила дифференцирования функций
- •§ 2. Дифференциал функции
- •§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 5. Правило Лопиталя
- •Глава III. Применение производных к исследованию функций и построению их графиков § 1. Исследование функции на монотонность и экстремумы
- •§ 2. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба ее графика
- •§ 3. Асимптоты
- •§ 4. Схема полного исследования функции
- •Глава IV. Неопределенный интеграл § 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Основная таблица интегралов
- •Основные свойства интеграла
- •Основная таблица интегралов
- •§ 2. Основные методы интегрирования
- •§ 3. Интегрирование рациональных дробей
- •§ 4. Интегрирование некоторых видов тригонометрических выражений
- •§ 5. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
- •Библиографический список Основные учебные и справочные издания
- •Дополнительные учебные и справочные издания
- •Оглавление
§ 4. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Роля (о корнях производной)
Если функция
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема во всех его внутренних
точках и имеет на концах отрезка равные
значения
,
то внутри отрезка существует хотя бы
одно значение
,
в
которой
производная обращается в нуль, т.е.
.
Геометрическая интерпретация теоремы Роля:
На
дуге
графика функции
,
удовлетворяющей условиям теоремы Ролля,
найдется точка М,
в которой касательная ТК
параллельна хорде АВ
и оси ОХ.
Таких точек может быть и несколько.
Теорема Лагранжа (о конечном приращении функции)
Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема во всех его внутренних
точках, то внутри отрезка существует
хотя бы одно значение
,
для которого:
Из теоремы следует формула конечных приращений:
т.е. приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой промежуточной точке интервала не приращение независимой переменой.
Теорема Коши (об отношении приращений двух функций)
Если функции
и
непрерывны на отрезке
и дифференцируемы во всех его внутренних
точках, причем
внутри
отрезка, то найдется хотя бы одна
внутренняя точка
,
для которой:
.
§ 5. Правило Лопиталя
Теорема 1
(правило Лопиталя для раскрытия
неопределенностей вида)
Пусть функции
на некотором отрезке
удовлетворяют условиям теоремы Коши
и обращаются в нуль при
,
т. е.
.
Тогда, если существует предел отношения
производных
при
,
то существует и предел отношения функций
,
причем они равны друг другу:
.
Теорема имеет
место и в том случае, если функции
не определены при х
= а,
но
Если
,
а производные
удовлетворяют условиям, налагаемым на
теоремой 1, правило Лопиталя применяется
повторно уже к отношению производных
.
Получим:
Правило Лопиталя
применяется и в том случае, когда
а
Правило Лопиталя
остается в силе, если окажется, что
.
Примеры
Теорема 2
(правило Лопиталя для раскрытия
неопределенностей вида
)
Пусть функции
непрерывны и дифференцируемы при всех
в окрестности точки
,
причем
;
пусть далее
.
Тогда, если существует предел
то существует и предел
,
и они равны между собой:
.
Данное правило
допускает повторное применение, а также
сохраняет силу в случаях, когда
или
когда
.
Примеры
.
С помощью правил
Лопиталя раскрываются неопределенности
которые различными преобразованиями
сводятся к неопределенностям видов
или
.
Примеры
Глава III. Применение производных к исследованию функций и построению их графиков § 1. Исследование функции на монотонность и экстремумы
Теорема (необходимый признак монотонности)
Пусть функция
на отрезке
имеет
производную. Тогда:
1. Если
не убывает на
,
то
на отрезке
.
2. Если
не возрастает на
,
то
на отрезке
.
3. Если функция
=
const
на
,
то
на отрезке
.
Теорема (достаточный признак монотонности)
Пусть функция
непрерывна
и дифференцируема на отрезке
.
Тогда:
1. Если
на отрезке
,
то
не убывает на отрезке
.
2. Если
на отрезке
,
то
не возрастает на отрезке
.
3. Если
на отрезке
,
то
=
const
на
.
Точка
называется: точкой
максимума
функции
,
если
в некоторой окрестности точки
.
Точка
называется точкой
минимума функции
,
если
в некоторой окрестности точки
.
Точки минимума и максимума называются
точками
экстремума,
а значения функции в них – экстремальными
значениями.
Точки экстремумов разделяют интервалы
монотонности.
Теорема (необходимый признак существования экстремума)
Если
в точке
функция
достигает экстремума, то ее производная
в этой точке либо равна нулю, либо не
существует.
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками I рода; стационарные точки и точки, где производная не существует, вместе называются критическими точками I рода.
Теорема (первый достаточный признак существования точки экстремума)
Пусть
функция
непрерывной
в некоторой окрестности точки
и
дифференцируема в ней (за исключением,
быть может, самой точки
).
Если при переходе через
точку
производная
меняет
знак с плюса на минус,
то
–
точка
максимума,
если с минуса на плюс,
то
–
точка
минимума,
если знак производной не меняется, то
функция не имеет в точке
экстреума.
Пример
Исследовать на
экстремум функцию
Решение:
1. Ищем область
определения:
2. Ищем
3. Ищем критические точки:
существует
на всей области определения, поэтому
других критических точек нет.
4. Исследуем знаки
до
и после критических точек:
5. Определяем
экстремальные точки по смене знака
и
вычисляем экстремальные значения
функции:
Теорема (второй достаточный признак существования экстремума)
Точка
есть
точка экстремума функции
,
если
,
,
причем
если
,
то
– точка
минимума,
а если
,
то
–
точка
максимума.
Пример
В предыдущем
примере
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Для
отыскания наибольшего
и
наименьшего
значений функции
на отрезке
,
надо найти все экстремальные значения
функции внутри отрезка и
значения функции на концах отрезка.
Из
всех вычисленных значений функции
выбрать наибольшее и наименьшее:
Пример
Найти наибольшее
и наименьшее значение функции
(см. предыдущие примеры) на отрезке