5. Дифференциальные уравнения второго порядка, основные понятия. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка вида .

Диф.ур.2го п. называются уравнения вида или (*).

Также как для ур-я 1го порядка, для ур-й 2го п. сущ-т теорема сущ-я и единственности решения.

Если в ур-и (*) ф-я - в непрерывной области, содержащей точку , то сущ-т и притом единственное решение ур-я (*), удовл. начальному условию.

это не дробь, просто система*

Общим решением д.у.2го порядка наз. функция , удовл. исходному ур-ю при любых значениях .

Частным решением д.у. наз. функция, полученная из общего решения при конкретных значениях и . Их находят из начальных условий.

В ряде уравнений 2го п. с помощью подстановки можно привести к ур-м 1го п. и далее решать их известными методами. Ур-е вида (не содержит у и в явном виде).

Решают подстановкой , тогда .

Решая его, находим , т.к. , то . Решая его, получим .

6. Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка вида .

Диф.ур.2го п. называются уравнения вида или

Общим решением д.у.2го порядка наз. функция , удовл. исходному ур-ю при любых значениях .

Частным решением д.у. наз. функция, полученная из общего решения при конкретных значениях и . Их находят из начальных условий.

Д.у.2го порядка, допускающее понижение порядка вида (см.выше) не содержат в явном виде у.

Пример:

и тд.

Решаем с помощью той же замены, что и ранее . Подставляем в исходное уравнение, получаем 2 уравнения 1го порядка.

6. Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка вида .

Диф.ур.2го п. называются уравнения вида или

Общим решением д.у.2го порядка наз. функция , удовл. исходному ур-ю при любых значениях .

Частным решением д.у. наз. функция, полученная из общего решения при конкретных значениях и . Их находят из начальных условий.

Д.у.2го порядка, допускающее понижение порядка вида (см.выше) не содержат в явном виде x.

Решают подстановкой вида !

дифференцировали по правилу «диф.сложной функции».

Если , где , то

Пример: решить уравнение

решение: сделаем подстановку вида . Тогда . Подставим в исходное уравнение: , .

6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Теорема о структуре общего решения. Характеристическое уравнение. Запись общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Линейным однор.д.у.2го п. наз. уравнение вида .(1)

Линейность означает, что ,у – в 1 степени. Однородность означает, что прочие части уравнения равны 0. - известные функции.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного д.у. 2го п.:

Если и -линейно независимые функции, то ОБЩЕЕ решение ур-я (1) имеет вид

, где -const, а - лин.незав.функции

Примечание:

-лин.независимы, если , т.е. если

Уравнения вида , где р и q – постоянные числа, называют уравнениями 2го п. с постоянными коэффициентами.

Пример:

По теореме о стр-ре общ.реш. общим решением данного уравнения будет

(2), где -лин.независимы. Следовательно, если найдем какие-либо две лин.незав. функции, которые будут решением уравнения (1), то задача будет решена. По-видимому, решение должно быть таким, чтобы были идентичны (тогда после приведения подобных членов слева ур.(1) можно получить 0). Таким свойством обладает функция вида (3), где k – неизвестное число. Будем искать решение ур-я (1) в виде (3).

Тогда

(4)

Подставляем (4) в уравнение (1).

т.к. ни при каких x и k то для того чтобы левая часть уравнения обратилась в 0, необходимо выполнение условия

(5)

Т.о., для того чтобы было решением уравнения, необходимо чтобы k был корнем уравнения (5).

Уравнение (5) называют ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ уравнением для д.у.(1).

Иначе говоря, - решение (1), если k – корень характ-го ур-я

Корни характеристического уравнения:

При этом возможны ситуации:

1. Корни хар.ур. – действительные числа и различные - .

Общее решение имеет вид:

2. Корни хар.ур. – одинаковые действительные .

Общее решение имеет вид:

3. Корни хар.ур. – «мнимые» () – действительных корней нет.

Например: . Хар.ур.:

Обозначим -«мнимая единица», или . Тогда формально имеем 2 корня:

мнимые или комплексные числа

Для работы в таких ситуациях в математике было введено понятие комплексного числа вида , где -действительная часть, -мнимая часть. По аналогии с обычными числами для них были введены операции сложения/вычитания, умножения и деления.

9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y’’ + p*y’ + q*y = f(x). Теорема о структуре общего решения. Выбор типа частного решения в зависимости от вида правой части дифференциального уравнения для случаев, когда

f(x) = P_n(x)*e ^αx = (a₀ + a₁x + a₂x² + . . . + a_nxⁿ)*e ^αx , f(x) = e ^αx * (A*cosβx + B*sinβx).

Неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

y’’ + p*q’ + q*y = f(x) (*)

где p и q – const. f(x) – известная функция.

Структура общего решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

y = y₀ + y_частн.

где

y₀ = C₁*y₁(x) + C₂*y₂(x) – общее решение однородного уравнения y’’ + p*y’ + q*y = 0,

y_частн. – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (*).

Вид частного решения y_частн. Находят в зависимости от вида правой части f(x) дифференциального уравнения (*).