ПРИМЕЧАНИЯ: Этим цветом выделен материал, который может и не понадобиться при ответе на данный экзаменационный билет. А может и понадобится =)

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения. Основные понятия и определения – общее и частное решение, начальные условия, задача Коши.

Д.у. называется уравнение, содержащее производные, функцию и независимую переменную. Порядком д.у. называется порядок наивысшей степени. Решением д.у. называется всякая функция, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Д.у. 1го порядка называется уравнение . Если это уравнение можно представить в виде (1), то уравнение называется уравнением, разрешенным относительно производной. Теорема Коши: теорема существования и единственности:

Если в уравнении (1), функция f(x,y) и её частная производная непрерывны в некоторой области, содержащей т.(), то существует и при этом единственное решение уравнения (1), проходящее через данную точку.

Примечание! 1. Задача, в которой помимо нахождения решения д.у. требуется найти решение, проходящее через точку () называются задачей КОШИ. 2. Задача Коши формулируется след-м образом:

Дано: - дифференциал *

• начальное условие **

Требуется: найти решение, удовлетворяющее как *, так и **.

Решение, в котором С – произвольная постоянная, называется ОБЩИМ решением.

Решения, в которых С(const) конкретизирована, называют ЧАСТНЫМИ решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . Алгоритм решения.

(Д.у. называется ур-м с р/п если (1). Решение основано на следующем: выражения, стоящие слева и справа можно рассм-ть как дифференциалы от некоторой функции - , , . Если диф-ы ф-и равны, то сами ф-и отличаются на С. Чтобы найти сами ф-и по диф-у их необходимо проинтегрировать. , . Поэтому уравнение (1) решают интегрированием обеих частей. Если в полученном решении у явно не выражен через х или это трудно сделать, то решение в таком виде называют общим интегралом.)

Д.у. вида (2) называют ур-м с разделяющимися переменными. Решение таких уравнений: 1) записываем как ,, - ур-е с р/п; 2) интегрируем обе части этого равенства - общее решение.

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Решение однородных уравнений.

Если д.у. можно представить в виде (1), то его называют однородным. Термин «однородность» связан с понятием так называемых однородных функций f(x,y), таких что . Для решения таких уравнений используют замену переменной (подстановку). Чтобы решить, обозначают , тогда . Получ. выражение подставляем в исходное (1). Интегрируем обе части. Найдем u = F(x,С) или - общее решение.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . Метод Бернулли решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Линейным д.у.1порядка называют ур-я вида (1), где P(x), Q(x) – известные и непрерывные функции.

1. Если P(x)=0- ур-е с разделяющимися переменными.

2. , Интегрируем обе части: ;

3. - ПОЛНОЕ уравнение.

Для решения полных уравнений используют два метода

• метод вариации произвольной постоянной

• метод Бернулли.

Суть метода БЕРНУЛЛИ закл.в том, что искомое решение ищут в виде произведения двух заранее неизвестных функций, полагая что , где u и v – пока нам неизвестные функции. Тогда . Подставляем в исх-е уравнение y и , получаем *

Так как нас интересует результат , а не отдельные сомножители, то на один их них можно наложить какое-либо условие. Пусть будет таким, что . Тогда,

(const при нахождении полагают равной 0).

Подставляем найденное V в уравнение *, тогда . .

Окончательное решение: