![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
Пусть даны две прямые l1 и l2 на плоскости:
.
Чтобы определить их взаимное расположение, достаточно решить систему уравнений:
(17)
Если эта система имеет единственное решение (х0, у0), то прямые l1 и l2, пересекаются в точке М0(х0, у0). Если система (17) не имеет решений, то прямые l1 и l2 не пересекаются, следовательно, l1 || l2. Если система (17) имеет бесконечное множество решений, то l1 и l2 совпадают.
Однако
решить вопрос о взаимном расположении
l1
и l2
можно и не решая системы (17). Действительно,
из общего уравнения прямой l1,
находим, что ее нормальный вектор
имеет координаты А1
и В1
, т.е.
= {А1,
В1},
а прямая l2
имеет нормальный вектор
= {А2,
В2}.
Если векторы
,
коллинеарны, то прямые l1
и l2
либо параллельны, либо совпадают. Если
,
неколлинеарны, то прямые пересекаются.
Зная, что коллинеарные векторы (и только
они) имеют пропорциональные координаты,
получаем:
если
,
то прямые
l1
и l2
пересекаются;
если
то
прямые
l1
и l2
параллельны;
если
то
прямые
l1
и l2
совпадают.
Используя
нормальные векторы
,
можно также найти угол
между прямыми,
так как угол между нормальными векторами
равен одному из углов
между прямыми l1
и l2
(рис. 12).
И
з
определения скалярного произведения
векторов получаем:
,
поэтому
.
Пусть
на плоскости заданы прямая
и точка М0(х0,
у0).
Найдем расстояние
d
от точки
М0(х0,
у0)
до прямой
l
(рис. 13). Пусть М1(х1,
у1)
– точка пересечения прямой l
и прямой, проходящей через точку М0
перпендикулярно l.
Так как М1
лежит на l,
то ее
координаты удовлетворяют уравнению
этой прямой, таким образом, имеем
тождество:
.
(18)
Рассмотрим
вектор
.
Этот вектор коллинеарен нормальному
вектору
= {А1,
В1}
прямой l
и
,
поэтому косинус угла между векторами
и
равен либо 1, либо -1. Следовательно,
,
откуда
.
Учитывая тождество (18) получаем:
.
(19)