Лабораторная работа № 1. Решение оптимизационной задачи линейного программирования

Цель работы: научиться составлять математические модели оптимизационных задач линейного программирования и решать их в

электронной таблицеl.

Напомним, что оптимизационными задачами называют экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения одного или нескольких критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и др.).

Математическая модель оптимизационной задачи линейного программирования состоит в следующем:

Пусть имеются:

x_j – количество продукции вида j (j=1,2,…,n);

b_i – количество ресурса вида i (i=1,2,…,m);

a_ij – норма расхода i-го ресурса на единицу j-го вида продукции;

c_j – прибыль (доход) от единицы j-той продукции или ее себестоимость;

Найти переменные x_j (j=1,2,…,n), при которых целевая функция

,

была бы максимальной (минимальной) при соблюдении ограничений

(i=1,2,…,m);

(j=1,2,…,n).

В результате решения задачи находят некоторый оптимальный план работы предприятия или определяют невозможность ее решения.

Решение оптимизационной задачи линейного программирования состоит из двух этапов: подготовки табличной модели и ее решения с помощью процедуры Поиск решения.

Подготовка табличной модели состоит в следующем:

1. выбирается диапазон n ячеек для переменных x_j;

2. ввод значений коэффициентов целевой функции c_j в n ячеек;

3. ввод значений объемов ресурсов b_i в m ячеек;

4. ввод формул расчета левых частей ограничений в m ячеек;

5. ввод в выбранную целевую ячейку формулы расчета целевой функции .

Для решения задачи линейного программирования в Excel нужно выбрать в меню Сервис-Поиск решения. Если этого пункта нет, то нужно выбрать в меню Сервис-Надстройки-√ Поиск решения-OK.

После выбора процедуры Поиск решения в ее окне нужно:

1. установить целевую ячейку и задать ее равной максимальному или минимальному значению;

2. в поле Изменяя ячейки задать диапазон n ячеек искомых переменных x_j;

3. кнопкой Добавить ввести ограничения вида:

   ссылка на ячейку (с формулой )

   знак (<=,>=,=)

   ограничение (ячейка с b)

4. кнопкой Добавить ввести условие неотрицательности переменных вида:

   диапазон n ячеек переменных xj

   >=

   0

5. в случае поиска целочисленных значений x_j добавить условие

   диапазон n ячеек переменных xj

   цел

   целое

6. нажать кнопку Выполнить для вычисления оптимального решения.

В результате появится окно «Результаты поиска решения», позволяющее: сохранить найденное решение, восстановить исходные значения, сохранить сценарий, выдать отчеты по результатам.

Пример 1. Пусть мебельная фабрика производит шкафы и стулья. Расход древесины в м³ на 1 шкаф – 1,1, на 1 стул – 0,04. Расход трудовых ресурсов в чел-ч: на 1 шкаф – 24, на 1 стул – 0,6. Объемы ресурсов: древесины – 300 м³, трудовых ресурсов – 2700 чел-ч. Прибыль от реализации в руб: 1 шкафа – 270, 1 стула – 21. По плану шкафов должно быть выпущено не менее 75. Найти оптимальный производственный план, дающий максимальную прибыль от реализации продукции.

Решение. Пусть x₁ – количество шкафов, x₂ – количество стульев. Тогда:

Табличная модель в Excel имеет следующий вид:

	A	B	C	D
1	x			b
2	0	=1,1*A2+0,04*A3	<=	300
3	0	=24*A2+0,6*A3	<=	2700
4	c	270	21
5	F	=A2*B4	=A3*C4	=B5+C5

После выбора в меню Сервис-Поиск решения в окне Поиск решения задаются следующие параметры:

1. целевая ячейка D5, равная максимальному значению;

2. Изменяя ячейки: A2:A3;

3. ограничения B2<=D2;

B3<=D3;

A2>=75;

A2:A3>=0;

A2:A3 цел целое;

Далее нажимается кнопка Выполнить, после чего появится окно «Результаты поиска решение» с сообщением «Решение найдено». В этом окне следует выбрать «Сохранить найденное решение» и нажать OK.

В итоге получены значения: 75 в A2; 1500 в A3; 51750 в D5.

Таким образом, согласно найденному оптимальному плану, нужно произвести 75 шкафов и 1500 стульев; максимальная прибыль при этом составит 51750 р.