Контрольные задания по теме "Пределы и непрерывность функции"

Задание 2.1

Найти область определения функции.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Задание 2.2

Найти пределы.

1. а) б) в)

г)

2. а) б) ; в) ;

г)

3. а) ; б) ; в) ; г)

4. а) ; б) ; в) ; г)

5. а) ; б) ; в) ; г)

6. а) ; б) ; в) ;

г)

7. а) ; б) ; в) ; г)

8. а) ; б) ; в) ;

г)

9. а) ; б) ; в) ;

г)

10. а) ; б) ; в) ;

г)

11. а) ; б) ; в) ;

г)

12. а) ; б) ; в) ;

г)

13. а) ; б) ; в) ;

г)

14. а); б); в);

г)

15. а) ; б) ; в) ;

г)

16. а) ; б) ; в) ; г)

17. а) ; б) ; в) ;

г)

18. а) ; б) ; в) ;

г)

19. а); б); в);

г)

20. а) ; б) ; в) ;

г)

21. а); б); в);

г)

22. а) ; б) ; в) ;

г)

23. а) ; б) ; в) ;

г) ;

24. а) ; б) ; в);

г)

25. а) ; б) ; в) ;

г)

26. а) ; б) ; в) ;

г)

27. а) ; б) ; в) ;

г)

28. а) ; б) ; в) ; г)

29. а) ; б) ; в) ;

г)

30. ; б) ; в) ;

г)

Задание 2.3

Исследовать функцию на непрерывность и изобразить схематически ее график в окрестности точек разрыва.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ; 13. ;

14. ; 15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ; 24. ; 25. ;

26. ; 27. ; 28. ; 29. ;

30. .

Задание 2.4

Сравнить бесконечно малые величины.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Раздел 3 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Перед выполнением контрольных заданий по этой теме необходимо изучить теоретический материал по учебникам: [1] (гл.III пар.1, 2, 3(п.47), 4, 5; гл.IV пар. 1, 2, 3); [2] (гл.VI пар. 1-7).

Контрольные вопросы

1. Производная. Геометрический смысл.

2. Дифференцирование суммы, произведения и частного двух функций.

3. Производные основных элементарных функций.

4. Производная сложной и обратной функции.

5. Производная функции, заданной в параметрической форме.

6. Дифференциал, геометрический смысл, свойства.

7. Производные высших порядков.

8. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой.

9. Монотонность функции. Необходимый и достаточный признаки монотонности.

10. Экстремум функции. Необходимый и достаточный признаки экстремума функции.

11. Наименьшие и наибольшие значения функции на отрезке.

12. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Асимптоты.

13. Общий план исследования функции.

Рассмотрим типичные задачи по этой теме.

Задание 3.1

Найти производную заданной функции.

При дифференцировании функции необходимо руководствоваться приведенными ниже правилами.

а) Таблица производных основных элементарных функций:

б) Правила дифференцирования (здесь – постоянная; , – дифференцируемые функции):

; ; ; ;

; ;

; .

Пример 3.1

.

.

Пример решен очень подробно для демонстрации правил дифференцирования. Желательно сократить все промежуточные вычисления, тогда решение будет иметь вид:

.

Задание 3.2

Найти производные для функции, заданной в параметрической форме.

Пусть – параметрически заданная функция. Тогда .

Обозначим и рассмотрим следующую параметрически заданную функцию: Для вычисления ее производной применяется правило (*): .

Повторяя его многократно, можно найти производную любого порядка, если она существует.

Пример 3.2

.

Рассмотрим функцию По формуле (*) находим:

.

Задание 3.3

Составить уравнение касательной и нормали к графику функции.

Пусть – некоторая кривая и – точка на ее графике. Тогда

(**)

– уравнения касательной и нормали, соответственно, к графику этой функции в точке .

Пример 3.3

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Найдем ;

– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Пример 3.4

при .

Прежде всего, найдем , при котором :

.

Тогда

– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Задание 3.4

Исследовать функцию и построить ее график.

При этом нужно руководствоваться общим планом исследования функции.

1. Найти область определения и точки разрыва функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Найти интервалы монотонности и экстремумы.

4. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

5. Найти асимптоты.

При построении графика функции необходимо учесть ее четность, периодичность, если таковые свойства имеются.

Пример 3.5

Исследовать функцию .

1. Область определения: .

При функция не определена. Найдем левый и правый пределы в этой точке:

;

.

Следовательно, – точка разрыва II – го рода.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

При . Ось функция не пересекает, т.к. ни при каких .

3. Найдем интервалы монотонности и экстремумы.

; при получаем .

Отсюда критические точки:

Построим таблицу 3.1.

Таблица 3.1

		0	0,1	1	1,2	2
	+	0	–	не сущ.	–	0	+
		max		не сущ.		min

Итак, точка – точка максимума, – точка минимума,

4. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

.

Критическая точка , но перегиба в ней нет, так как функция в этой точке не существует.

Построим таблицу 3.2.

Таблица 3.2

		1
	–	не сущ.	+
		не сущ.

5. Найдем асимптоты функции.

Из пункта 1 следует, что прямая – вертикальная асимптота. Рассмотрим наличие наклонных асимптот:

, где

, .

Наклонная асимптота существует и ее уравнение .

Исследуемая функция общего характера, не периодическая, нет ни оси, ни центра симметрии.

По полученным результатам строим эскиз графика функции (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1

Задание 3.5

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Эти значения непрерывная функция может принять либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Пример 3.6

.

Находим критические точки:

Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

.

Сравнивая, их определяем:

; .