1.5. Прямая в пространстве и плоскость
1)
Общее уравнение плоскости
.
Здесь
– координаты вектора, перпендикулярного
к данной плоскости:
.
2)
Уравнение плоскости, проходящей через
точку
:
.
3)
Уравнение плоскости, проходящей через
три точки
,
и
:
.
4) Каноническое уравнение прямой в пространстве:
,
где
точка, лежащая на прямой;
– координаты
направляющего вектора прямой
.
5) Параметрическое уравнение прямой:
;
;
.
6)
Уравнение прямой, проходящей через две
точки
и
:
.
7) Угол между прямой и плоскостью:
.
Пример 1.23
Дано:
.
Найти:
а) уравнение прямой, проходящей через
точки
,
,
в канонической и параметрической форме.
Решение: опираясь на формулы 4, 5, 6, имеем:
– каноническое
уравнение прямой;
параметрическое
уравнение:
;
;
;
б)
уравнение плоскости, проходящей через
точки
.
Решение: опираясь на уравнение (3) имеем:
; 
;
.
Общее
уравнение плоскости:
.
в)
найти угол между прямой
и плоскостью
.
Решение:
, 
;
;
.
Ответ:
.
Контрольные задания по теме "Элементы линейной алгебры"
Задание 1.1
Даны
матрицы
и
.
Найти
(см. пример 1.1).
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
.
Дана
матрица
;
найти
.
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
.
Задание 1.2
Вычислить определитель (см. примеры 1.2, 1.3).
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
; 8.
;
9.
; 10.
; 11.
; 12.
;
13.
; 14.
; 15.
; 16.
;
17.
; 18.
; 19.
; 20.
;
21.
; 22.
; 23.
; 24.
;
25.
; 26.
; 27.
; 28.
;
29.
; 30.
.
Задание 1.3
Найти матрицу, обратную данной (см. пример 1.4).
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
; 8.
;
9.
; 10.
; 11.
; 12.
;
13.
; 14.
; 15.
; 16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
; 26.
;
27.
;
28.
;
29.
; 30.
.
Задание 1.4
Решить систему по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы (см. пример 1.5).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задание 1.5
Исследовать систему на совместность и решить ее методом Гаусса (см. примеры 1.6, 1.7).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Контрольные задания по теме " Действия над векторами"
Задание 1.6
1. Найти косинус угла между
и
(см. пример 1.13).
2. Найти проекцию
на
.
3. Вычислить площадь параллелограмма,
построенного на
и
(см. пример 1.14).
4. Вычислить объём пирамиды с вершинами
в точках
(см. пример 1.15), если:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
;
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
.
Задание 1.7
Составить:
1. Уравнение прямой
(см. пример 1.16);
2. Уравнение прямой через точку
перпендикулярно прямой
(см. пример 1.18);
3.
Уравнение прямой через точку
параллельно прямой
(см. пример 1.17);
4.
Угол
(см. пример 1.19), если:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
.