1.2. Действия над векторами
Определение.
Вектором называется направленный
отрезок. Если начало вектора находится
в точке
,
а окончание – в точке
,
то вектор обозначают
или одной малой буквой, например
,
т.е.
.
Пусть
даны
;
,
тогда
Пример 1.8
;
.
Решение.
;
.
Пусть
векторы, длина которых равна единице,
то есть
,
а направление их совпадает с направлением
осей
,
,
в пространственной прямоугольной
системе координат, т.е.
.
Если
координаты вектора
;
тогда
или
В
примере 8 вектор
можно записать:
.
Основные действия над векторами:
1)
Умножение на число
:
.
Пример 1.9
;
.
2)
Длина вектора (модуль):
.
Пример 1.10
Дано:
.
Найти:
Решение:
.
Ответ:
.
3)
Сложение
векторов: если
и
то
.
Пример 1.11
Дано:
;
.
Найти:
.
Решение:
;
;
или
.
4)
Скалярное
произведение двух векторов:
,
где
;
;
;
5)
Если
и
то
Пример 1.12
Дано:
Найти:
.
Решение:
.
.
Ответ:
.
6)
Проекция вектора
на ось вектора
:
.
7)
Угол между векторами:
;
где
.
Пример 1.13
По
условию примера 11 найти косинус угла
между
и
.
Решение:
.
Ответ:
.
8)
векторное
произведение двух векторов
и
,
заданных координатами, вычисляется по
формуле:
.
С
геометрической точки зрения длина
вектора
равна площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
т.е.
.
Пример 1.14
Найти
площадь параллелограмма построенного
на векторах
и
,
если
.
Решение:
(см. пример 8).
.
Ответ:
.
9)
Смешанное произведение трёх векторов,
заданных их координатами,
вычисляется
по формуле:
.
С
геометрической точки зрения смешанное
произведение трёх векторов численно
равно объёму параллелепипеда, построенного
на векторах
,
т.е.
Пример 1.15
Найти
объём пирамиды с вершинами в точках
.
Решение:
;
;
.
Ответ:
.
1.3. Прямая на плоскости
1) Общее уравнение прямой:
.
2) Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
3)
Уравнение прямой, проходящей через
точку
:
.
4)
Уравнение прямой, проходящей через две
точки
и
.
5)
Условие параллельности двух прямых
и
:
;
условие
перпендикулярности двух прямых:
.
6)
Угол между прямыми:
.
Пример 1.16
Составить
уравнение прямой, проходящей через
точки
,
.
Решение: учитывая формулу (4) имеем:
.
-
это общее уравнение прямой.
Пример 1.17
Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку
параллельно прямой
.
Решение:
воспользуемся условием параллельности
двух прямых и формулой (3). Перепишем
в виде (2)
;
,
значит
.
.
Пример 1.18
Составить
уравнение прямой через точку
перпендикулярно прямой
.
Решение:
;
,
.
С учётом формулы (3):
.
Ответ:
.
Пример 1.19
Найти
,
если
,
и
.
Решение:
составим уравнение сторон
и
:
,
;
,
;
.
1.4. Кривые второго порядка
Общий вид кривых второго порядка:
. (**)
Если
,
то (**) определяет эллипс
или окружность
;
если
,
то (**) – гипербола;
если
то (**) – парабола.
Уравнение кривых второго порядка с центром в начале координат:
1)
окружность:
; 2)
эллипс:
;
3)
гипербола:
; 4)
парабола
или
.
Уравнения
кривых второго порядка
сводятся к виду:
5)
– окружность;
6)
– эллипс;
7)
– гипербола;
8)
или
– парабола.
Пример 1.20
Определить вид линии и построить:
.
Решение.
Так как
,
,
,
то данное уравнение – уравнение
окружности.
Найдём координаты центра и радиус, выделив полные квадраты:
Центр
,
(см. рис. 1.1).
Пример 1.21
Решение:
,
,
,
- эллипс.
Найдём координаты центра и полуоси:
;
Рис. 1.1
,
,
(см. рис. 2).
Рис. 1.2.
Пример 1.22
.
Решение:
,
,
- гипербола.
Выделяем
полный квадрат:
;
;
,
,
(см. рис. 1.3).
Рис. 1.3