Тема 5. Исследование устойчивости систем по критерию Михайлова

Пример 7. Исследовать с использованием критерия Михайлова устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением

Проверим выполнение критерия перемежаемости корней действительной и мнимой частей вектора Михайлова. Характеристическое уравнение системы

Вектор Михайлова

Выделим действительную часть

Найдем ее корни

Выделим мнимую часть вектора Михайлова

Найдем ее корни

Корни мнимой и действительной частей вектора Михайлова чередуются (рис. 7)

Построим графики функций и (рис. 8а) и годограф вектора Михайлова (рис. 8б).

Вектор Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности проходит четыре квадранта, начинаясь с положительной ветви действительной оси, не пересекаясь и не обращаясь в нуль, следовательно, система, описываемая дифференциальным уравнением четвертого порядка, устойчива.

Задание 6. Исследовать по критерию Михайлова устойчивость систем, описываемых дифференциальными уравнениями или передаточными функциями, приведенными в задании 5.

Тема 6. Исследование устойчивости замкнутой системы регулирования по критерию Найквиста

Пример 8. Исследовать по критерию Найквиста устойчивость замкнутой системы, структурная схема которой приведена на рис. 9.

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы (рис. 9б)

Исследуем устойчивость разомкнутой системы. Ее характеристическое уравнение имеет вид

.

Его корни

Корни характеристического уравнения разомкнутой системы отрицательны, следовательно, разомкнутая система устойчива.

Построим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.

при

при

Исследуем, как проходит АФХ разомкнутой системы относительно точки . Для этого найдем значение модуля АФХ при той частоте, когда фаза АФХ равна нулю. Фаза АФХ равна нулю, т.е.

когда

При этой частоте

т.е. АФХ разомкнутой системы не охватывает точку . Следовательно, замкнутая система устойчива.

Задание 7. Исследовать по критерию Найквиста устойчивость замкнутой системы, структурная схема которой приведена на рис. 9. Выражения для передаточных функций и даны в табл. 2 (см. задание 5).

Задание 8. Исследовать по критерию Найквиста устойчивость замкнутой системы, структурная схема которой приведена на рис. 11. Выражения для передаточных функций и даны в табл. 2 (см. задание 5).

Задание 9. Для системы, структурная схема которой приведена на рис. 12, а выражения для передаточных функций в табл. 2, найти критическое значение коэффициента усиления обратной связи k, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости.

Литература

1. Софиева Ю. Н., Софиев А. Э. Теория автоматического управления: Конспект лекций. /МИХМ. - М., 1975. - 165 с.

2. Софиева Ю. Н. Теория автоматического управления: Сборник задач и контрольных вопросов. /МИХМ. - М., 1974. - 92 с.

3. Практикум по автоматике и системам управления производственными процессами./Под ред. И. М. Масленникова. - М.: Химия, 1986. - 336 с.

4. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. - 560 с.