-
Моменты.
Для того, чтобы учесть влияние на математическое ожидание тех возможных значений случайной величины Х, которые велики, но имеют малую вероятность, целесообразно рассматривать математические ожидания целой положительной степени случайной величины.
Определение.
Начальным моментом К-го
порядка
(K=1,
2, ...) распределения
случайной величины Х
(если он существует) называется
действительное число
,
определяемое формулой
если Х
– дискретная случайная величина,
если Х
– непрерывная случайная величина.
Определение.
Центральным моментом К-го
порядка
распределения случайной величины Х
(если он существует) называется число
,
определяемое по формуле
если Х
– дискретная случайная
величина,
если Х
– непрерывная случай-
ная величина.
Из определения
моментов, в частности, следует, что
Чтобы приведенные формулы имели смысл, требуется, чтобы суммы и интегралы сходились абсолютно. Так же, как математическое ожидание и дисперсия, моменты существуют не для всех случайных величин.
3.3.5. Характеристики формы распределения (асимметрия и эксцесс).
В отличие от
начальных моментов, центральные моменты
не меняются при прибавлении к случайной
величине постоянного слагаемого, т.е.
они не зависят от выбора начала отсчета
в шкале измерения случайной величины.
Но от выбранной единицы измерения
зависимость остается: если, скажем,
случайную величину начать измерять не
в рублях, а в тысячах рублей, то значения
центральных моментов тоже изменятся.
Чтобы устранить подобное явление,
моменты тем или иным способом нормируют,
например, делят их на соответствующие
степени среднего квадратического
отклонения
.
В результате получается безразмерная
величина, не зависящая от выбора начала
отсчета и единицы измерения исходной
случайной величины.
Чаще всего из
нормированных моментов используется
асимметрия
и эксцесс –
соответственно третий и четвертый
нормированные центральные моменты. Для
случайной величины Х
коэффициент асимметрии
(«скошенности» распределения) вычисляется
по формуле:
а коэффициент
эксцесса
(«островершинности» распределения)
вычисляется по формуле
Принято считать, что асимметрия характеризует симметричность распределения случайной величины, а эксцесс – степень выраженности «хвостов» распределения, т.е. частоту появления удаленных от среднего значений.
Для симметричного
распределения
=
0.
Если
0, то имеет
место правосторонняя асимметрия, т.е.
распределение имеет более длинную часть
справа от математического ожидания
(рис. а), если
0, то имеет
место левосторонняя асимметрия, т.е.
распределение имеет более длинную часть
слева от математического ожидания (рис.
б).
При оценке
«островершинности» распределения в
качестве эталонного выбирается нормальное
распределение, для которого
=
3. Если
–
3
0, то распределение
имеет более острую, при
–
3
0 более пологую
вершину, чем нормальное (см. рис. в)
