3.3.2. Примеры использования математического ожидания.

Рассмотрим примеры использования математического ожидания на практике для принятия решения в условиях неопределенности.

Пример 1. Анализ имеющихся альтернатив и действий в условиях неопределенности с финансовой точки зрения можно проводить в терминах прибылей и убытков или упущенных возможностей. Рассмотрим задачу, в которой речь идет о возможной прибыли. Представим себе инвестора, владеющего облигациями на сумму 20 000 $. Эти облигации приносят доход 1 200 $/год. В некоторый момент он получил информацию о том, что курс акций на бирже должен повыситься, и ему предстоит принять решение, сохранить ли свои облигации или перевести их в акции.

Будучи знакомым с фирмой, акции которой он думает купить, инвестор считает, что не может получить больше 20% прибыли со своей суммы 20000 $ и не может потерпеть убытки больше чем на 2%. Чтобы проанализировать всю ситуацию более подробно, он перечислил возможные значения Х дохода и приписал каждому значению определенную вероятность, т.е. задал распределение вероятностей дохода с помощью таблицы.

X$	4000	3600	3200	2800	2400	2000
P(x=)	0,0005	0,0054	0,0269	0,0806	0,1611	0,2256

X$	1600	1200	800	400	0	-400
P(x=)	0,2256	0,1611	0,0806	0,0269	0,0055	0,0004

Вычислим ожидаемую прибыль

$/год и сравним это значение со своим доходом в 1200 $/год.

Означает ли это, что инвестору стоит переключиться с облигаций на акции? Он должен понимать, ожидаемый доход в 1800 $/год есть величина, имеющая смысл для большого числа испытаний. При однократном испытании он может получить любое значение дохода Х, указанное в таблице. Поэтому несмотря на то, что , вполне возможно, что инвестор не будет продавать свои облигации.

Пример 2. Пусть лотерейные билеты продаются по 2 $ за штуку, и по ним можно выиграть автомобиль, который стоит 4000 $. Общее число лотерейных билетов равно 8000 и предполагается, что все они будут проданы.

Распределение вероятностей имеет вид:

Возможный исход	Событие	Вероятность P()
Выигрыш на один билет		1/8000
Проигрыш		7999/8000

Таблица 1.

	4000	0
	-2	0

Таблица 2.

	0	4000
	2	0

Вычислим возможный доход (табл.1)( – купить лотерейный билет, – не покупать билет) и условные потери от неиспользованных возможностей (табл. 2).

Ожидаемая прибыль () равна

;

.

Ожидаемые потери от не использования благоприятных возможностей равны

;

.

Отсюда видно, что максимальное значение ожидаемой прибыли равно нулю, а минимальная ожидаемая потеря равна 0,50. Если бы все предполагаемые покупатели лотерейных билетов рассуждали в терминах ожидаемой прибыли и потерь, то лотереи перестали бы существовать. Однако большое число людей не интересуются вероятностью и/или ожидаемой прибылью. Они видят разницу лишь между 4000 $ и 2 $ и понимают, что могут купить лотерейный билет. И все же есть люди, которые рассуждают в терминах вероятностей или возможной прибыли и потерь. В противном случае мы были бы завалены всякого рода лотерейными билетами.

Пример 3. Эта задача касается двух бизнесменов: А и В. В занимается разведкой нефтяных месторождений за границей и просит А предоставить заем в 20 000 $. Он предлагает выплатить этот заем через год плюс 25% этой суммы, т.е. 5000 $.В настоящее время А зарабатывает на этом капитале 1000 $ в год, так что для него это означало бы условную прибыль в 4000 $. Кроме того , В согласен передать А в качестве гарантий займа некоторое имущество, стоимость которого составляет 10 000 $. Бизнесмен А имеет следующие альтернативы:

• «дать заем бизнесмену В и считать, что предприятие последнего окажется успешным» (тогда бизнесмен А заработает 4000 $).

• «одолжить деньги и считать, что В потерпит неудачу и станет банкротом» (в этом случае А потеряет 10 000$).

Определим вероятности событий:

= {успех}, = {неудача}: P() = 0,8; P() = 0,2.

Возможные действия: – дать заем, – не давать займа, приведены в

таблице:

	4000	0
	-10000	0

Числа в каждой клетке соответствуют условным значениям прибыли.

Ожидаемая прибыль: 4000  0,8 – 10000  0,2 = 1200;

0  0,8 + 0  0,2 = 0.

Условные потери от использования благоприятной возможность приведены в таблице:

	0	4000
	10000	0

Ожидаемые потери от не использования благоприятной возможности:

0  0,8 + 10000  0,2=2000;

4000  0,8 – 0  0=3200.

Итак, ожидаемая прибыль составляет 1200 $, и это говорит о том, чтобы серьезно отнестись к предложению В о займе в сумме 20 000 $.

Пример 4. Директор по сбыту издательства, выпускающего воскресную газету, заметил, что значительное число экземпляров газеты иногда оказывается непроданными. Производство каждой лишней газеты обходится в 6 центов. В тех же случаях, когда спрос превышает предложение, издательство теряет возможность заработать 4 цента.

Чтобы получить более точные сведения, директор провел эксперимент: в течение 52 воскресных дней предложение всегда обеспечивало спрос. Данные приведены в таблице:

Число проданных газет,	Число воскресных дней
		P()
23	6	0,12
24	12	0,23
25	16	0,31
26	11	0,21
27	7	0,13
Всего	52	1,00

Примечание. – частота, P()– вероятность.

Следующий этап заключается в составлении таблицы возможных доходов. Обозначим через – величину спроса, – выпуск того или иного числа газет. Прибыль P = 4 цента за газету. Убыток L = 6 центов за газету. Общий объем прибыли при некоторых фиксированных и составляет 4Q при  и 4 – 6( – ) = 10 – 6 при .

Например, при i = 2, j = 3 получим доход в сумме 1024 – 625 = 90 (элемент таблицы).

Таблица возможных доходов

	23	24	25	26	27
23	92	86	80	74	68
24	92	96	90	84	78
25	92	96	100	94	88
26	92	96	100	104	98
27	92	96	100	104	108

Определим ожидаемую прибыль для одного значения по формуле

M() = , j = 1,2,3,4,5.

Тогда ожидаемая прибыль для всех приведена в таблице

	23	24	25	26	27
M()	92,0	94,8	95,3	92,7	88,0

Наибольшее значение ожидаемой прибыли равно 95,3, которое соответствует = 25. Это означает , что оптимальный выпуск газет равен 25000. Так как , то следует предполагать, что 34% воскресных дней не будут обеспечены газетами полностью. В некоторых районах такая нехватка может побудить читателей начать покупать другую газету. Это приведет к дополнительным потерям, которые тоже следует оценить, а это не всегда является легкой задачей. В подавляющем большинстве случаев задачу удобно проанализировать в терминах потерь от не использования благоприятных возможностей так, как это было выполнено в примерах 2,3.