2. Аналитическое и экспериментальное определение переходных характеристик звеньев сау

Для сравнения динамических свойств различных звеньев и в целом всей САУ, а также для экспериментального определения математического описания звеньев (такая процедура называется идентификацией) используются стандартные тестовые сигналы, среди которых чаще всего используют единичное ступенчатое воздействие (рис.2)

, (5)

где I(t) = 0 при t<0; I(t) = 1 при t>=0.

Реакция звена на единичное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой и обозначается как

. (6)

Переходная характеристика может представляться в виде аналитического выражения или графика. Аналитическое выражение рассчитывается по формуле(7):

, (7)

где - обратное преобразование Лапласа.

Рис.2. Единичное ступенчатое воздействие

1. Безинерционное усилительное звено (n=m=0).

ДУ: ; (8)

ПФ: , где k – коэффициент передачи звена ; (9)

ПХ: ; (10)

Рис.3. Переходная характеристика усилительного звена

2. Интегрирующее звено (n=1, m=0, a₀=0).

ДУ: ; (11)

ПФ: ; (12)

ПХ: . (13)

График переходной характеристики представляет прямую линию (рис.4).

Рис. 4. Переходная характеристика интегрирующего звена

К

. (14)

оэффициент добротности k_и определяет скорость нарастания выходной величины. Например, при увеличении k_и скорость нарастания также увеличится. При определении параметра звена экспериментально величина добротности определяется

3. Дифференцирующее звено

а) Идеальное дифференцирующее звено (n=0, m=1, b₀=0).

ДУ: ; (15)

ПФ: ; (16)

ПХ: , (17)

h(t)=0 при t<0 ; h(t)=0 при t > 0; h(t)=  при t =0.

Функция имеет важное значение в теории регулирования и называется дельта-функцией (рис.5).

Рис.5. Дельта-функция

Видим, что при t=0 имеем импульс бесконечной амплитуды, и ясно, что для получения идеального дифференцирующего звена необходим источник энергии бесконечной мощности, т.е. такое звено практически не реализуемо.

б) Реальное дифференцирующее звено

ДУ: или ; (18)

ПФ: ; (19)

ПХ: . (20)

График переходной функции представлен на рис.6.

Рис.6. Переходная характеристика реального дифференцирующего звена

При t=T . (21)

Отсюда следует, что, взяв величину 0,37 от начального значения выходной величины определяется величина Т (см.рис.6). Коэффициент k определяется по начальному значению h(t) и величин Т. Постоянная времени может быть определена также с помощью касательной. Очевидно, что длительность переходного процесса может быть приблизительно определена как t_nn=(3-4)T. (22)

4. Апериодическое звено первого порядка (n=1, m=0, a₀0, b₀0).

ДУ: или ; (23)

ПФ: ; (24)

ПХ: . (25)

График переходной функции представлен на рис.7.

Рис.7. Переходная характеристика апериодического

звена I порядка

Теоретически экспоненциальная кривая никогда не достигнет установившегося значения. Практически переходный процесс можно считать законченным, если величина h(t) отличается от устано­вившегося значения на 3-5 %. Как следует из (25), такое значение h(t) будет иметь при t_nn = (3-4)Т. Таким образом, зная величину постоянной времени Т, можно, не решая уравнения, приблизительно определить длительность переходного процесса.

В установившемся режиме У ( t )=h(t)=const. Из этого следует, что производная равна 0, и для установившегося режима, если X(t)= const, можно записать .

Таким образом, используя коэффициент k, можно определить установившееся значение выходной величины.. Данные рассуждения справедливы для остальных звеньев. Чтобы получить уравнение, oписывающее установившийся режим, достаточно в передаточной функции у всех слагаемых приравнять p к 0.

При экспериментальном определении параметров звена первичной информацией является график на рис.7. Зная входную величину Х_уст, можно определить коэффициент передачи

. (26)

Для определения постоянной времени Т подставим в (26) t = T

. (27)

Из (27) следует методика определения величины Т. Необходимо на уровне 0,63 k провести прямую линию до пересечения с графиком h(t) (т. "а" на рис.7). Затем на оси абсцисс определить величину постоянной времени t = Т.

Другой метод состоит в определении точки пересечения касательной, проведенной в начале кривой, с линией величины установившегося режима (т." b " на рис.7), наклон касательной определяется выражением

.

В нулевой точке.(при t = 0)

.