4. Оценка точности косвенных измерений

Большинство физических величин обычно невозможно измерить непосредственно, и их определение включает два различных этапа. Сначала измеряют одну или более величин x, ..., z, которые могут быть непосредственно измерены, и с помощью которых можно вычислить интересующую нас величину. Затем, используя измеренные значения x, ..., z, вычисляют саму искомую величину. Если измерение включает эти два этапа, то и оценка погрешностей тоже включает их. Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно, а затем определить, к какой погрешности они приводят в конечном результате. При этом, конечно, необходимо учитывать вид функциональной связи между величинами.

Погрешность функции q = f(x, ..., z) нескольких переменных x, ..., z, измеренных с погрешностями x, ..., z в случае, если погрешности независимы и случайны, определяется по формуле:

. (9)

Вычисления погрешности с помощью формулы (9) обычно оказываются достаточно громоздкими. Поэтому лучше производить поэтапное вычисление, используя некоторые правила, два из которых являются наиболее употребляемыми:

1. Абсолютная погрешность суммы и разности равна квадратичной сумме абсолютных погрешностей

. (10)

2. Относительная погрешность комбинации произведения и частного равна квадратичной сумме относительных погрешностей

,

. (11)

Правила вычисления погрешностей для некоторых других функций приведены в Приложении 1.

Рассмотрим последовательность действий при вычислении погрешности косвенного измерения на примере формулы

.

Сначала найдем абсолютную и относительную погрешность суммы :

.

Затем найдем относительную и абсолютную погрешности величины v:

.

Анализ полученной окончательной формулы позволяет установить:

а) погрешности каких именно величин вносят наибольший вклад в общую погрешность. Точному измерению этих величин необходимо уделить наибольшее внимание.

б) погрешности каких величин практически не влияют на окончательный результат и их можно даже отбросить.

Будем в дальнейшем не принимать в расчет погрешности постоянных (g, e, , ...) и табличных величин, измеренных с большой точностью. Например, погрешность приближенного числа   3,14 составляет всего 0,05 %.

5. Основные определения теории приближенных вычислений

При записи численного результата наилучшую оценку и ошибку измерения необходимо записывать с нужным количеством цифр. В правильной записи числа должны быть только значащие (верные и сомнительные) цифры.

Цифра называется верной, если ошибка не превышает единицы разряда этой цифры.

Цифра называется сомнительной, если ее разряд совпадает с разрядом погрешности.

Все остальные цифры числа называются неверными и должны быть отброшены округлением.

Верные и сомнительные цифры называются значащими.

При округлении необходимо пользоваться следующими правилами:

1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из оставляемых не изменяется;

2) если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то к последней из оставляемых прибавляется единица.

Значащими цифрами приближенного числа являются все верные цифры и одна сомнительная, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, у числа 63,458 пять значащих цифр, а у числа 0,006 – одна. Нули, стоящие позади значащих цифр, могут быть значащими и незначащими. Если эти нули получались в результате округления больших чисел, то они незначащие. Например, скорость света в вакууме, по данным опытов, равна 299 792,5 км/c. Это число обычно округляется до 300 000 км/c. В последнем случае у числа лишь одна значащая цифра. Если же нули означают, что последние разряды пустые, но верные (один сомнительный), то их необходимо считать значащими. Например, у числа 2080 четыре значащие цифры. Незначащие цифры нужны для того, чтобы задать порядок числа.

Для удобства проведения математических действий над приближенными числами последние представляют в так называемой нормальной форме: значащие цифры распределяют так, чтобы первая стояла в разряде единиц остальные – в десятичных разрядах после запятой, и к числу приписывается множитель вида 10ⁿ, где n – целое число.

Например, число 0,0348 в нормальной форме имеет вид 3,48 ×10^-2, число 30100 = 3,01×10⁴. Удобство такой записи состоит в том, что в числе остаются только значащие цифры, а незначащие "уходят" в степень десяти.

Рассмотрим, как округляют погрешности. Погрешности, в отличие от других приближенных чисел, округляются всегда в сторону увеличения и, как правило, до одной значащей цифры. Если погрешности выражаются числами ±1,837; ± 0,065; ± 0,00845, то следует писать соответственно, ± 2; ± 0,07; ±0,009. Исключением является случай, когда первая значащая цифра ошибки 1, а вторая меньше 5. Тогда в записи оставляют 2 значащие цифры. Например, если погрешность ± 0,014, то необходимо оставить обе цифры.