10.6. Минимизация автоматов

С утили­тарной точки зрения интерес представляет только зависимость между входами и выходами конечного автомата, а роль его состоя­ний сводится исключительно к участию в формировании этих зависимостей в качестве промежуточных пере­менных. Следовательно, любая совокупность состояний, обеспе­чивающая требуемые зависимости между входом и выходом, может быть выбрана в качестве множества состояний автомата. В то же время этот выбор естественно подчинить определенным целям, например, минимизации числа состояний или оптимизации автомата в каком-либо смысле. Следует иметь в виду, что с уменьшением числа состояний уменьшается и количество требуемых элементов памяти, но это может привести к усложнению комбинационной схемы автомата. Поэтому синтез наиболее экономичного автомата часто требует поиска удачного компромисса между сложностью его комбинационной и запоминающих частей.

Минимизация числа состояний полных автоматов связана с отно­шением эквивалентности. Пусть автоматы М₁ и М₂, находящиеся соответственно в начальных состояниях и (обозначения М₁ и М₂ могут относиться к одному и тому же автомату), под воз­действием любой входной последовательности выдают одинаковые выходные последовательности, т. е. автоматы М₁ и М₂ в данных состояниях и неразличимы по внешним входам. Такое отно­шение между одного и того же или двух разных автоматов обладает ciioi"k'ih;imii рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, оно является отношением экви­валентности состояний. Если состояния не эквивалентны, то их называют различимыми. Легко доказать справедливость следующих положений:

1) состояния и автомата явно различимы, если различа­ются соответствующие им строки в таблице выходов;

2) состояния и автомата явно эквивалентны, если соответ­ствующие им строки в таблице переходов и таблице выходов оди­наковы или становятся одинаковыми при замене каждого номера на номер (или наоборот).

пример. для автомата, граф которого изображен на рис. 11.5а, общая таблица переходов имеет вид:

x(v) s(v)	0	1	2		а)	б)
0	1/0	4/0	4/1
1	5/1	1/1	4/1
2	1/0	1/1	6/1
3	3/1	2/0	0/1
4	1/1	4/0	4/1
5	1/0	5/1	4/1		Рис. 11.5. Граф конечного автомата (а) и его сокращенная форма (б).
6	5/0	5/1	2/1

Из этой таблицы следует, что состояния из множества {0, 3, 4} являются явно различимыми с любым состоянием из множества {1, 2, 5, 6}. Поэтому следует искать эквивалентные состояния только среди элементов, принадлежащих одному из этих множеств. Так как строки 0 и 4 одинаковы, а строки 1 и 5 становятся одинаковыми при замене в числителе цифры 1 на 5 (или 5 на 1), то явно эквивалентными являются пары состояний {0, 4} и {1,5}.

Объединяя эквивалентные состояния в автомате М₁, получаем эквивалентный автомат М₂ с меньшим числом состояний, который в любом состоянии нельзя отличить от исходного, наблюдая сигналы на выходах. Очевидно, автоматы М₁ и М₂ являются эквива­лентными, если каждому состоянию автомата М₁ соответствует, по крайней мере, одно эквивалентное ему состояние автомата М₂, и если каждому состоянию автомата М₂ соответствует хотя бы одно эквивалентное ему состояние автомата М₁.

Эквивалентные состояния, например, и удобно объеди­нять по общей таблице переходов, вычеркивая строку и заменяя везде в числителе числа на . После объединения пар явно эквивалентных состояний может оказаться возможным снова обна­ружить такие состояния, которые также объединяются с помощью аналогичной процедуры. В результате последовательного объеди­нения приходим к сокращенной таблице переходов, которой соот­ветствует сокращенный автомат, эквивалентный исходному, но име­ющий меньшее число состояний. Так, для рассматриваемого при­мера получаем последовательно:

x(v) s(v)	0	1	2		x(v) s(v)	0	1	2
0 (4)	1/1	0/0	0/1		0 (4)	1/1	0/0	0/1
1 (5)	1/0	1/1	0/1		1 (5)	1/0	1/1	0/1
2	1/0	1/1	6/1		2 (6)	1/0	1/1	2/1
3	3/1	2/0	0/1		3	3/1	2/0	0/1
6	1/0	1/1	2/1

Первая таблица соответствует объединению пар эквивалентных состояний {0, 4} и {1, 5}, а вторая - объединению пары {2, 6}. Сокращенный автомат содержит только четыре состояния (рис. 11.5б).