3. Типы конечных автоматов

В технике с понятием автомата обычно связывается некоторое устройство, способное выполнять определенные функции без вмешательства человека или с его ограниченным участием. Однако такое понимание яв­ляется слишком узким. В широком смысле конечный автомат - это мате­матическая модель, отображающая фи­зические или абстрактные явления самой разнообразной природы. Универсальность теории автоматов позволяет рассматривать с единой точки зрения различ­ные объекты, устанавливать связи и аналогии между ними, пере­носить результаты из одной области в другую.

Конечный автомат М определяется как система с конечным вход­ным алфавитом , конечным выходным алфави­том , конечным множеством состояний и двумя характеристическими функциями:

;

,

называемыми соответственно функцией переходов и функцией выходов.

Рис.11.1. Блок-схема конечного автомата

Общая блок-схема конечного автомата (рис. 11.1) может быть пред­ставлена в виде комбинационной схемы, реализующей характерис­тические функции  и , и памяти, сохраняющей на один такт пре­дыдущее состояние автомата.

В определении автомата участвует три конечных множества X, Y, S и две функции  и , задающие некоторые отношения между элементами этих множеств. Следовательно, конечный автомат мож­но обозначить упорядоченной пятеркой М = (X, Y, S, , ). Мощ­ности множеств X, Y, S равны соответственно:

где и - количество символов в алфавитах входной пере­менной X_i, выходной переменной и переменной состояния . При двоичном структурном алфавите , и . Если желают подчеркнуть мощности множеств X, Y и S, на которых определен конечный автомат, то его называют (р, q, r)-автоматом.

Характеристические функции  и  можно рассматривать как некоторые отображения множества или его подмножества соответственно на множества S и Y. Если и , автомат называется полным; если только , автомат называется полным по переходам. В случае, когда функции  и  определены не для всех наборов из множества , автомат называют неполным или частично опре­деленным .

Приведенное выше определение связывают обычно с автоматом первого рода, называемым также автоматом Мили. Если выходные переменные являются функцией только состояния, то имеем автомат второго рода или автомат Мура.

Между автоматами этих двух типов имеется взаимная связь и один из них может быть преобразован в другой.

4. Представления конечных автоматов

Автомат может быть задан различными способами, например, путем словесного описания его функционирования или перечислением элементов множеств X, Y, S, с указанием отношений между ними. При анализе и син­тезе конечных автоматов используются стандартные формы пред­ставления: таблицы, графы и матрицы. Элементы множеств X, Y, S удобно пронумеровать порядковыми числами, начиная с нуля, например: Х = {0, 1, 2, 3}, Y = {0, 1, 2, 3} и S = {0, 1, 2, 3}. Тогда характеристические функции  и  можно представить двумя таблицами, строки которых соответствуют состояниям, а столбцы - входам. Первая таблица, называемая таблицей переходов, соответ­ствует функции , и ее клетки заполняются номерами состояний s(v+1), в которые переходит автомат при воздействии x(v), и состоянии s(v) в данный тактовый момент. Вто­рая таблица, называемая таблицей выходов, соответствует функции , и ее клетки заполняются номерами выходов y(v) в данный тактовый момент, которые соответствуют воздействию x(v) и состоянию s(v) в тот же момент. Например, для заданных множеств X, Y, S такие таблицы могут иметь вид:

x(v) s(v)	0	1	2	3		x(v) s(v)	0	1	2	3
0	3	2	1	3		0	0	0	0	0
1	3	2	1	3		1	1	0	0	1
2	3	2	2	3		2	1	0	1	1
3	3	0	0	1		3	0	0	1	1

Обе таблицы можно объединить в общую таблицу переходов, если условиться записывать в клетках пары чисел (номер следую­щего состояния в числителе и номер выхода в знаменателе), т. е.

x(v) s(v)	0	1	2	3
0	3/0	2/0	1/0	3/0
1	3/1	2/0	1/0	3/1
2	3/1	2/0	2/1	3/1
3	3/0	0/0	0/1	1/1

Граф автомата строится таким образом, что его вершины соот­ветствуют состояниям, а направленные дуги обозначаются как дизъюнкции входов, под воздействием которых совершается пере­ход из одного состояния в другое по направлению дуги. В знамена­телях записываются номера выходов, соответствующие этим пере­ходам.

Пример. На рис. 11.2 показан граф, построенный в соответствии с при­веденной выше общей таблицей переходов. Так как из состояния 0 автомат переходит в состояния 1, 2 и 3, то из вершины 0 графа исходят дуги в вершины 1, 2 и 3. При этом переход в состояние 1 совершается под воздействием 2 и ему соответствует выход 0, поэтому дуга из вершины 0 в 1 помечается как 2/0. Переход в состояние 2 совершается под воздействием 1 и ему соответствует выход 0, поэтому дуга из вершины 0 в 2 помечается как 1/0. Переходы в со­стояние 3 совершаются под воздействиями 0 и 3, и им обоим соответствует выход 0, поэтому дуга из вершины 0 в 3 помечается как дизъюнкция . Аналогично определяются и другие дуги графа. Петли соответствуют переходам, при которых состояния не изменяются. Так, рассматриваемый автомат переходит из состояния 2 в 2 под воздействиями 1 и 2, которым соответствуют выходы 0 и 1. Следовательно, петля при вершине 2 помечается как дизъюнкция 1/02/1.

Рис.11.2. Граф конечного автомата

Матрица соединения автомата М (или матрица переходов) представ­ляет собой квадратную таблицу, в ко­торой номера строк и столбцов соот­ветствуют номерам состояний. Клетка матрицы на пересечении i-й строки и j-го столбца заполняется дизъюнкцией пар «вход-выход», которая приписана дуге графа исходящей из i-й в j-ю вершину. При отсутствии такой ветви клерка заполняется нулем или остается свободной. Так для рассматриваемого примера имеем:

	0	1	2	3
М =		2/0	1/0	0/03/0	0
		2/0	1/0	0/13/1	1
			1/02/1	0/13/1	2
	1/02/1	3/1		0/0	3