Математическое моделирование

Знание конкретных разделов математики и освоение ряда базовых математических методов является обязательной, но лишь необходимой частью математического образования. Практическое же применение знаний по математике обычно заключается в том, чтобы объекты реального мира описать на языке математики. Такой перевод на язык математики называется построением математической модели.

Все развитие современной науки связано с созданием и изучением моделей систем, процессов и явлений. Модель – это условный образ объекта исследования, который создается по аналогии или сходству с объектом. Построенная модель позволяет получить более точное представление о наиболее существенных его свойствах и в определенной степени предсказать будущие события. Процесс построения мате­матической модели и последующее ее применение для решения конкретных задач называется математическим модели­рованием. Настоящий специалист должен представлять себе сов­ременное состояние науки о математическом моделировании, знать основные модели, их свойства и соответствующие методы решения. Каждый тип математических моделей имеет свои особенности, ориентирован на тот или иной класс задач, связан с определенными требованиями к вычислительной технике и т. п.

Несмотря на произвольный характер процесса математического модели­рования, можно выделить наиболее характерные его этапы.

Цель первого этапа моделирования – построение концеп­туальной модели как совокупности качественных зависимостей между существенными факторами. После исследования объекта моделирования обычно строится вербальная (описательная) по форме модель, которая дает содержательное представление о существенных свойствах системы и главных связях между этими свойствами.

Второй этап – построение математической модели. Здесь главной проблемой является определение количественных математических соотношений, формализующих качественные зависимости. Практика показывает целесообразность введения промежуточного этапа – построения алгоритма.

Третий этап моделирования – проведение исследований, т. е. собственно решение задачи с помощью модели; этот этап в решении частной задачи математического моделирования – задачи линейного программирования – и будет рассмотрен ниже.

«Дано , требуется », или

Заданные условия включают: множество возможных состояний рассматриваемой системы и множество операторов (правил) , переводящих объект рассмотрения из одного возможного состояния в другое. Решение задачи – достижение цели , которая в большинстве случаев понимается как желаемое состояние объекта.

На стадии постановки задачи исследователь определяет объект исследования и окружающую его среду, возможные факторы, влияющие на объект, способы описания собственно объекта и (или) правил перехода из одного состояния в другое, цели решения задачи и оценки качества решений. Формальная модель поставленной задачи может быть записана следующим образом:

«Дано требуется »,

где множество входных управляемых и неуправляемых факторов; множество исходов, т. е. результатов вза­имодействия входных факторов с объектом рассмотрения; множество операторов, определяющих появление исходов в результате взаимодействия входных факторов с рассматриваемым объектом; ­­ – множество целей – желаемых состояний системы; множество критериев оценки элементов множества .