2. Построение модели парной регрессии
Построение
уравнения регрессии
(1) сводится
к оценке (расчету) ее параметров
(коэффициентов)
и
Для оценки параметров уравнения регрессии
используют метод
наименьших квадратов
(МНК). Сущность МНК заключается в
нахождении параметров модели, при
которых минимизируется сумма квадратов
отклонений эмпирических (фактических)
значений отклика от теоретических,
вычисленных по модели. Сказанное можно
записать в следующем виде:
(7)
Нахождение
коэффициентов уравнения регрессии по
МНК производится из системы нормальных
уравнений. Данную систему получают
путем приравнивания нулю всех частных
производных функции
. В качестве
аргументов функции
рассматриваются коэффициенты уравнения
регрессии.
Для уравнения (4) формула (7) примет следующий вид :
(8)
Дифференцируя
функцию
из
(5) по
параметрам
и
,
получаем
Отсюда система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:
(9)
Решая систему
(9) относительно
и
получаем следующие формулы:
где
соответствующие
средние.
Анализ качества модели парной регрессии
Под анализом
понимается оценка аппроксимации
(качества) или проверка адекватности
построенной модели. Для оценки
аппроксимации используются такие
характеристики, как средняя ошибка
аппроксимации
и
критерий (критерий Фишера)
Средняя ошибка
аппроксимации
- среднее
отклонение расчетных значений отклика
от его фактических
– вычисляется
по формуле:
где
– наблюдаемые значения;
Допустимый
предел значений
- не более
8-10 %.
Вычисление
характеристики
осуществляется с использованием
следующих формул:
(10)
(11)
(12)
где
эмпирические
(наблюдаемые) значения
;
расчетные значения
;
среднее
значение, вычисленное по ряду
количество
коэффициентов при переменной
в уравнении регрессии (для уравнения
вида (1) –
).
Оценка
аппроксимации (адекватность модели)
уравнения регрессии осуществляется с
помощью
-критерия
следующим образом. На основе заданных
уровня
значимости
(обычно,
или
),
чисел степеней свободы
и
определяется табличное значение
из специальных таблиц, в частности
(прил., табл. А4). Если
то модель считается адекватной. В
противном случае модель неадекватная,
т. е. зависимость между случайными
величинами
и
не является линейной.