Урок № 45

Тема: Парабола та її найпростіші рівняння.

План:

1. Канонічне рівняння параболи.

2. Дослідження форми параболи за її рівнянням.

3. Паралельний перенос параболи.

Означення: Параболою називається множина точок площини, кожна з

яких однаково віддалена від даної точки, яка називається фокусом, і від даної прямої, яка не проходить через фокус і називається директрисою.

Складемо рівняння параболи з фокусом в даній точці F і директрисою d, що не проходить через F. Точка F належить осі Ох, d перпендикулярна осі Ох, початок координат розташований посередині між фокусом і директрисою.

Означення: Відстань від фокуса F до директриси d називається параметром параболи і позначається р.

Нехай точка М ( х , у ) – довільна точка параболи. Проведемо MN перпендикулярно до директриси.

- канонічне рівняння параболи.

Координати точки О(0;0) задовольняють канонічне рівняння параболи, отже, вона проходить через початок координат.

Означення: Ось Ох називається осью симетрії параболи; точка О(0;0) називається вершиною параболи; відрізок FM називається фокальним радіусом точки М.

Зауваження: Для складання рівняння параболи система координат булла вибрана спеціальним чином. Якщо систему координат вибрати інакше, то рівняння буде мати інший вигляд: - якщо направити ось Ох від фокуса до директриси, то рівняння буде мати вигляд ( - директриса); - якщо ось Оу провести через фокус F перпендикулярно до директриси в напрямку від директриси до фокуса, а початок координат розташувати посередині між фокусом і директрисою, то рівняння буде мати вигляд ( - директриса); - якщо ось Оу провести через фокус F перпендикулярно до директриси в напрямку від фокуса до директриси, а початок координат розташувати посередині між фокусом і директрисою, то рівняння буде мати вигляд ( - директриса).

Нехай дана парабола з вершиною в точці Оґ( а ; b ) , ось симетрії якої параллельна осі Оу, а вітки направлені вгору. Складемо її рівняння.

Зробимо паралельний переніс осей координат, помістивши початок координат в точку Оґ( а ; b ); відносно нової системи координат хґОґуґ парабола визначена рівнянням , або - рівняння параболи з зміщеним центром.

Покладемо .

Одержимо .

Отже, графік будь-якого квадратного тричлена є парабола.

Приклади: 1. Дана парабола . Знайти координати її фокуса і скласти рівняння директриси.

2. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, директриса якої задана рівнянням у=3.

3. Скласти рівняння парабол из вершиною в точці Оґ(-4;2) і з фокусом в точці F(-4;6).

4. Знайти вершину, фокус, ось і директрису параболи .

Переходимо до нової системи координат:

Завдання: 1. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо директриса задана рівнянням .

2. Визначити координати фокуса і скласти рівняння директриси параболи .

3. Скласти рівняння параболи, якщо координати фокуса , а рівняння директриси .

4. Скласти рівняння параболи, якщо координати вершини , а рівняння директриси .