Контрольні запитання.

1. Дати означення вектора.

2. Які лінійні операції можна виконувати над векторами?

3. Сформулювати ознаки паралельності і перпендикулярності векторів.

4. Дати поняття векторного базису.

5. Як виконати операції над векторами в координатах?

Література: [1] - § 4-9

Урок № 41

Тема: Загальне рівняння прямої. Взаємне розміщення двох прямих. Відстані від точки до прямої.

План:

1. Загальне рівняння прямої.

2. Взаємне розміщення двох прямих.

3. Відстань від точки до прямої.

Нехай пряма l задана рівнянням . Виконаємо тотожні перетворення:

Одержане рівняння називається загальним рівнянням прямої.

Нехай А=0, тоді . Позначимо , одержимо y=b – рівняння прямої, паралельної осі Ох.

Нехай В=0, тоді . Позначимо , одержимо x=a – рівняння прямої, паралельної осі Оу.

Нехай , тоді , або . Покладемо , одержимо . Пряма проходить через початок координат. Нехай довільна точка прямої l. Тоді , або . З малюнка видно, що .

Означення. Тангенс кута нахилу прямої до додатного напрямку осі Ох називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Нехай , тоді , або . Покладемо , одержимо .

Означення. Число b називається початковою ординатою прямої, а рівняння - рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Зауваження. Кутовий коефіцієнт прямої, яка паралельна осі Оу , не існує.

Нехай на площині задано дві прямі: .

Нехай , або при . Тоді - не колінеарні. Отже , тоді .

- точка перетину прямих.

Нехай , або при . Тоді . Отже прямі або паралельні, або співпадають.

Нехай при . В цьому випадку .

Нехай при . В цьому випадку .

Теорема. Прямі паралельні між собою тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти рівні.

Теорема. Прямі перпендикулярні між собою тоді і тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти обернені по величині і протилежні по знаку.

Нехай треба обчислити кут між прямими . З малюнка видно, що кут між прямими дорівнює куту між нормальними векторами цих прямих. Тому .

Відстань між точкою і прямою обчислюється за формулою .

Приклад и. 1. Пряма задана параметричним рівнянням . Записати загальне рівняння цієї прямої.

2. Знайти точку перетину прямих та .

.

3. При якому значенні а прямі та паралельні.

4. Знайти кут між прямими та .

Прямі перпендикулярні.

5. Координати вершин трикутника А(2;-3), В(0;1) і С(-1;-1). Обчислити довжину висоти проведеної з вершини А на сторону ВС.

Завдання: 1. Пряма задана канонічним рівнянням . Записати загальне рівняння цієї прямої.

2. Знайти точку перетину прямих та .

3. При якому значенні а прямі та паралельні.

4. Знайти кут між прямими та .

5. Координати вершин трикутника А(2;-3), В(0;1) і С(-1;-1). Обчислити довжину висоти проведеної з вершини С на сторону ВА.

Контрольні запитання.

1. Який вигляд має загальне рівняння прямої?

2. Як знайти точку перетину прямих?

3. Яка умова паралельності прямих?

4. Як обчислити кут між прямими?

5. Як знайти відстань від точки до прямої?

Література: [1] - § 18-24