Урок № 35

Тема: Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

План:

1. Ранг матриці.

2. Зведення матриці до трикутного виду.

3. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Означення. Рядковим рангом матриці називається ранг системи її вектор-рядків.

Означення. Стовпцевим рангом матриці називається ранг системи її вектор-стовпців.

Теорема. Рядковий і стовпцевий ранги матриці рівні між собою.

Елементарними перетвореннями матриці називаються:

1. перестановка двох рядків (стовпчиків);

2. множення рядка (стовпчика) на дійсне число нерівне нулеві;

3. додавання до одного рядка (стовпчика) іншого рядка (стовпчика).

Теорема. Ні рядковий, ні стовпцевий ранги матриці не змінюються при її елементарних перетвореннях.

Теорема. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної.

Означення. Ступінчастою матрицею називається матриця виду

,

в якій в кожному наступному рядку більше перших нулів ніж у попередньому.

Теорема. Ранг ступінчастої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.

Метод Гауса розв’язування системи лінійних рівнянь полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень рядків розширена матриця системи зводиться до ступінчастого вигляду.

Приклад . Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Завдання: Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса.

Контрольні запитання.

1. Що називають рангом матриці?

2. Яка залежність між рядковим та стовпцевим рангом матриці?

3. Які перетворення рядків матриці називають елементарними?

4. Дати означення ступінчатої матриці.

5. В чому полягає метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь?

Література: [12] – Р.7 § 18-19, [13] –Гл.1 § 1

Урок № 37

Тема: Вектори та їх застосування .

План:

1. Скалярні і векторні величини.

2. Лінійні операції над векторами.

3. Скалярний добуток векторів.

4. Векторний базис на площині і в просторі.

5. Операції над векторами, заданими своїми координатами.

Вектор – це напрямлений відрізок.

Довжиною вектора називають довжину відрізка, який містить цей вектор.

Якщо довжина вектора дорівнює нулю, то вектор називають нульовим.

Два вектори називають рівними, якщо вони мають однакову довжину і однаковий напрямок.

Два вектори називають протилежними, якщо вони мають однакову довжину і протилежні напрямки.

Два вектори називають колінеарними, якщо вони паралельні одній прямій.

Три вектори називають компланарними, якщо вони паралельні одній площині.

Додати два вектори можна за правилом трикутника або паралелограма.

Правило трикутника. Правило паралелограма.

Щоб відняти від вектора вектор необхідно додати до вектора вектор протилежний до .

Добутком вектора на число називають вектор, довжина якого в раз більша за довжину вектора , а напрямок співпадає з напрямком вектора , якщо і протилежний, якщо .

Скалярним добутком двох векторів називають число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Два не колінеарні вектори на площині утворюють базис довільної системи координат. Якщо вектори одиничні і перпендикулярні, то система координат називається прямокутною або декартовою системою координат. Будь-який вектор можна розкласти на складові за двома не колінеарними векторами.

Аналогічно в просторі будь-який вектор можна розкласти на складові за трьома не компланарними векторами.

Операції над векторами заданими своїми координатами:

Два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх координати пропорційні.

Два вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Приклад . Дани координати вершин піраміди ABCD :

A( 2; -3; 1), B( 6; 1; -1), C( 4; 8; -9), D( 2; -1; 2).

Знайти: 1. Координати і модуль вектора ;

2. Кут між векторами і.

Завдання: Дани координати вершин піраміди ABCD :

A( 5; -1; -4), B( 9; 3; -6), C( 7; 10; -14), D( 5; 1; -3).

Знайти: 1. Координати і модуль вектора ;

2. Кут між векторами і.