Урок № 21

Тема: Застосування визначеного інтегралу в математиці. Площа плоскої фігури.

План:

1. Класичне означення визначеного інтегралу.

2. Площа криволінійної трапеції.

3. Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтегралу.

Розглянемо функцію , визначену на відрізку . Розіб’ємо відрізок на п частин точками так, що . Позначимо , а величину назвемо кроком розбиття. Зафіксуємо на кожному з відрізків довільну точку . Тоді, інтегральною сумою будемо називати суму всіх добутків : .

Означення. Якщо при будь-яких послідовностях розбиття відрізка таких, що , і при будь-якому виборі точок інтегральна сума прямує до однієї і тієї скінченої границі: , то число А називають визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначають .

Геометричний зміст визначеного інтегралу:

Якщо неперервна на відрізку функція невід’ємна, то визначений інтеграл чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції , віссю абсцис та прямими та : .

Приклад . Обчислити площу фігури обмежену лініями:

Завдання. Обчислити площу фігури обмежену лініями:

Контрольні запитання.

1. Що розуміють під інтегральною сумою?

2. Дати класичне означення визначеного інтеграла.

3. Записати формулу Ньютона-Лейбніца.

4. Дати означення криволінійної трапеції.

5. В чому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла.

Література: [1] -§ 47, 52.

Урок № 22

Тема: Об’єм тіла обертання.

План.

1. Поняття про тіло обертання.

2. Обчислення обєму тіла обертання за допомогою визначеного інтегралу.

Тілом обертання називають геометричне тіло, яке утворюється при обертанні криволінійної трапеції навколо осі Ох.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції обмеженої графіком невід’ємної функції і прямими , обчислюється за формулою .

Приклад . Обчислити об’єм тіла, що одержується при обертанні кривої навколо осі Ох на відрізку .

Завдання. Обчислити об’єм тіла, що одержується при обертанні кривої навколо осі Ох на відрізку .

Контрольні запитання.

1. Дати означення криволінійної трапеції.

2. Дати означення тіла обертання.

3. Як обчислити об’єм тіла обертання за допомогою визначеного інтеграла?

Література: [1] -§ 53.

Урок № 26

Тема: Лінійні диференціальні рівняння ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.

План:

1. Означення лінійного диференціального рівняння ІІ-го порядку.

2. Лінійні диференціальні рівняння ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.

3. Розв’язування однорідних лінійних диференціальних рівнянь ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами.

Рівняння виду називають лінійними диференціальними рівняннями другого порядку .

Рівняння виду , де p і q дійсні числа, називають лінійними диференціальними рівняннями другого порядку з сталими коефіцієнтами.

Якщо f(x)=0, рівняння називається однорідним, в протилежному випадку – неоднорідним.

Для того щоб розв’язати однорідне рівняння необхідно скласти характеристичне рівняння: .

Загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:

1.

2.

3.

Приклад . Розв’язати рівняння: .

Завдання. . Розв’язати рівняння: .