Контрольні запитання:

1. Коли говорять, що функція задана неявно?

2. Наведіть приклади функцій заданих неявно.

3. Як знайти похідну неявної функції?

Література: [1] -§ 35

Урок № 14

Тема: Функції задані параметрично та їх диференціювання. Розв’язування вправ.

План:

1. Поняття функції заданої параметрично.

2. Диференціювання функцій, заданих параметрично.

Нехай задані дві функції змінної t : які розглядають для одних і тих же значень t. Тоді будь-якому з цих значень t відповідає певне значення х і певне значення у, а , отже, і певна точка М(х, у). Коли змінна t пробігає всі значення з області визначення функції, точка М(х, у) описує деяку лінію С в площині хОу. Система рівнянь називається параметричним рівнянням цієї лінії, а змінна t параметром.

Наприклад, параметричне рівняння кола має вигляд: .

Припустимо, що функція х=х(t) має обернену функцію t=t(x) . Подставивши цю функцію в друге рівняння системи, одержуємо у=у(t(x)). Це рівняння виражає у як функцію х. Перехід від системи рівнянь до рівняння у=у(t(x)) називається виключенням параметра.

Припустимо, що функція у від х задана параметрично, причому в деякій області зміни параметра функції х(t) та у(t) диференційовані і Тоді

Приклад . Найти похідну функції : .

Завдання. Найти похідну функції:

Контрольні запитання:

1. Дати означення функції заданої параметрично.

2. Наведіть приклади функцій заданих параметрично.

3. Як знайти похідну функції заданої параметрично?

Література: [14] – с.138-142

Урок № 15

Тема: Теореми про середнє. Формула Тейлора.

Урок № 15

Тема: Побудова графіків функцій із застосуванням похідної. Розв’язування вправ.

План:

1. Дослідження функцій за першою похідною.

2. Дослідження функцій за другою похідною.

3. Загальна схема дослідження функцій.

Теорема. (достатня умова зростання (спадання) графіка функції). Якщо функція , має додатню (від’ємну) похідну в кожній точчці інтервала , то ця функція зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Теорема. (достатня умова існування екстремума функції). Нехай функція неперервна в точці і в деякому її околі має похідну, крім, можливо, самої точки . Тоді:1) якщо похідна при переході через точку змінює знак з “+” на “-“, то точка є точкою максимума; 2) якщо похідна при переході через точку змінює знак з “-” на “+“, то точка є точкою мінімума; 3) якщо похідна при переході через точку не змінює знак, то в точці функція не має екстремума.

Теорема. (достатня умова випуклості графіка функції). Якщо на інтервалі двічі диференційована функція має від’ємну (додатню) другу похідну, то графік функції випуклий вгору (вниз).

Теорема. (достатня умова існування перегину графіка функції). Якщо функція двічі диференційована на інтервалі і при переході через точку друга похідна змінює знак, то ця точка кривої є точкою перегину.