В данном случае , так как направление вектора нормали к площади совпадает с направлением вектора магнитной индукции . Подставив (2) в (1), запишем выражение для эдс индукции по модулю

∣ℰ_i∣ = . (3)

Элемент площади dS, представляющий собой сектор с углом dφ (см. рис.), можно найти из следующей пропорции:

полная площадь круга πl² соответствует полному углу 2π;

элементарная площадь dS соответствует элементарному углу dφ.

Отсюда

. (4)

В свою очередь, элементарный угол можно выразить через угловую скорость

. (5)

А так как угловая скорость связана с частотой вращения выражением

, (6)

Подставляя последовательно (6) в (5), (5) в (4) и (4) в (3), получим

U = ∣ℰ_i∣ = . (7)

Проверим физический смысл полученной рабочей формулы (7) с помощью правила размерностей

.

.

Подставив в формулу (7) исходные данные, получим

В = 78,5 мВ

Ответ: U = 78,5 мВ

Пример 4.8. Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля, обладающего индукцией В = 0,04 Тл. Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α = 60° с линиями поля. Площадь катушки S = 100 см².

Дано	Решение
B N = 103 n = 10 c-1 В = 0,04 Тл α = 60° S = 100 см2		Мгновенное значение ЭДС индукции определяется законом Фарадея ℰi = . (1) Потокосцепление Ψ = NΦ, где N – число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Φ.
ℰi -?

Подставив выражение Ψ в формулу (1), получим

ℰ_i = . (2)

При вращении катушки магнитный поток, пронизывающий катушки, изменяется по закону

, (3)

где В – магнитная индукция; S – площадь катушки; ω – угловая скорость вращения катушки, ωt – текущий угол между нормалью n к плоскости рамки и вектором магнитной индукции В.

Подставив в формулу (2) выражение для магнитного потока Ф (3) и продифференцировав по времени, найдём мгновенное значение ЭДС индукции

ℰ_i = . (4)

Как следует из рисунка, текущий угол ωt связан с заданным углом α соотношением ωt = π/2 – α, следовательно,

sin ωt = sin(π/2 – α) = cos α. (5)

Угловая скорость ω связана с частотой вращения n катушки соотношением

. (6)

Подставив выражения (5) и (6) в формулу (4), получим

ℰ_i . (7)

Убедимся, что правая часть выражения (7) имеет размерность ЭДС (В):

.

Произведём вычисления

ℰ_i В.

Ответ: ℰ_i = 25,1 В

Пример 4.9. Кольцо из проволоки сопротивлением R = 1 мОм находится в однородном магнитном поле (B = 0,4 Тл) Плоскость кольца составляет с линиями индукции угол α = 90°. Определить заряд Q, который протечёт по кольцу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца S = 10 см².

Дано	Решение
R = 1 мОм = 1·10-3 Ом В1 = 0,4 Тл α = 90° S = 10 см2 = 10·10-4 м2 В2= 0	Заряд, протекший по кольцу, Q = I Δt. (1) Сила тока в проводнике I = ℰi /R. (2) ЭДС, индуцируемая в кольце, ℰi = . (3)
Q -?

Изменение магнитного потока, пронизывающего кольцо,

. (4)

Подставляя последовательно (4) в (3), (3) в (2) и (2) в (1), получим выражение для заряда, протекшего по кольцу при удалении его из магнитного поля,

ℰ_i = ; (5)

I = ℰ_i /R = ; (6)

Q = I Δt = . (7)

Проверим физический смысл выведенной формулы (7). Правая часть должна иметь размерность заряда (Кл)

.

Произведём вычисления

Кл.

Ответ: Q = 0,4 Кл

Пример 4.10. Через катушку, индуктивность L которой равна 200 мГн, протекает ток, изменяющийся по закону I = I_mcosωt, где I_m = 2 А, ω = 3 рад/с. Определить: 1) закон изменения ЭДС самоиндукции; 2) максимальное значение ЭДС самоиндукции.

Дано	Решение
L = 200 мГн = 0,2 Гн I = Imcosωt Im = 2 A ω = 3 рад/с	ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке, ℰс = . (1) Подставим в (1) заданный закон изменения тока ℰс = . (2)
ℰс - ? ℰс max - ?

Проверим размерность правой части выражения (2)

.

Подставив в (2) заданные значения L, I_m, ω, получим

ℰ_{с max} = 3·0,2·2 = 1,2 В

Ответ: ℰ_с = 1,2 sin 3t; ℰ_{с max} = 1,2 B